Déterminons encore S sin(aa:4-i), Scos(ajcH-*). On a
Ssïsi{ax 4- ^) = 2 sin (ax -f- a^x + 6) + c
I / aÙLX \
! 2 sin —
Scos(tfj: -h ^) = 2 cos(ax -f- «Aj? -j- ^) -4- ^
o cm » ^ /
2 sm
Si les séries doivent commencer à a: = o , on trouvera , pour la première ,
cos Ib —
', «Ax
2 sin
SECOtfDK PARTIR. a85
et, pour la seconde,
sin I b
a sm
et , par suite ,
cos [ ^ j — cos I flrx H h b \
Ss\ïï{ax -h b) =1 1^ ^ ^ /
2 sin
. fax-^aàx\ . /ax / sin I sm I h b
?\ . /ax
. aÙLJC sin
sm l ÛJT H h ^ ) — sm I A )
S cos(ax -^b) = i ? / ^ ^ ^
2 sm
(«a: 4- aàx
sm
Formules d'interpolation.
233. Lorsque Ton connait un certain nombre de valeurs d'une fonction , correspondantes à des valeurs données de la variable jc, et que l'on veut déterminer celles qui se rapportent à des valeurs intermédiaires de ar^ l'opération qui y conduit se nomme interpolation. L'objet qu'on se propose, en général , dans cette recherche n'est pas d'avoir des valeurs exactes, mais d'obtenir le plus simplement possible des valeurs qui aient un degré suffisant d'approximation. -«
i^îjS coufts d'ahajltse.
Dans le n° SS96 nous avons trouvé la formule
u, = u -^ — Att 4- . ^ ^ A*ir
Ax 1.2
Aj: \ Ax / \Ax y ^, -^ L A»«
u désigne la valeur de la fonction , pour x = o 5 et les valeurs de X croissent par intervalles constants égaux à Ar. Cette série se termine à A"u si la différence de l'ordre n est constante.
Or, si Ton donne les valeurs UjUi^Ut,.,,^ u„, et , par $uite, u, Ali, A'ii,..., A"i/, on pourra se proposer de trouver la fonction u, par la condition de reproduire les valeurs particulières II, 1Z1,..., lin ^ lorsqu'on donnera à x les valeurs o, Ar,..., nAr, et, de plus, d'avoir sa différence n*'"" constante, ce qui simplifiera la formule.
Ainsi la formule (i), arrêtée à A'*m, donnera pour Uj, une fonction du degré m en jr^qui satisfera aux conditions demandées. Et , si on la considère comme exacte, elle fera connaître les valeurs de m^. correspondantes à une valeur arbitraire de x. Mais il est convenable dç ne l'employer que pour des valeurs comprises entre o et nAx^ à moins que l'on ne sache que les différences des ordres supérieurs à n peuvent être négligées sans erreur sensible.
Si la première valeur u de la fonction eorreepondait à X'^=Xq et non à x = o^ la formule (i) ne subeisterah plus, et Ton devrait y remplacer x par X'^ Xq,
234. Lorsqu'on connaît u , Au , . . . , A"if , et que A^u est constante, on formera chacune des diverses, valeurs de A"^^u en ajoutant A"ii à la précédente. On obtiendra èe même chacune des valeurs de A"~*u on ajoutant à la précédente sa différence , et ainsi de suite, j^usqu'aux diverses valeurs de m, depuis la première jusqu'à l'infini.
SVCONDE PARTIE. 287
Ce procëdé esl employé pour la formation des TaUes , soit d'après un certain nombre de termes connus entre lesquels on veut en placer d'autres , soit d'après une équation exacte, mais d'une application peu commode.
235. Quelque rapprochés que soient les termes consécutifs d'une Table , on a souvent besoin d'en considérer d'intermédiaires, et Ton peut, la plupart du temps, considérer les différences secondes comme nulles. Dans ce cas, en supposant la valeur de or comprise entre Xo et oTo-t-Ax, la formule (i) donnera, en y remplaçant x parj: — Xo,
Si Ujc était donné et que x fût l'inconnue , on tirerait de là
Us— Il
àu
Si Ton ne peut négliger que les différences troisièmes , on prendra un terme de plus dans la formule (i). Dans ce cas , la formule ne donnerait pas aussi facilement x d'après Uj,^ parce que l'équation est du second degré en a: : la difficulté serait encore bien plus grande si l'on prenait un plus grand nombre de termes. On emploie alors un procédé d^approximation bien connu: on néglige d'abord les termes qui renfernxcnt x — Xo & des puissances supérieures à la première, ce qui donne, comme
Ux tt y.
dans le premier cas, x — Xo = —- — ÙX'^ puis on substitue cette valeur approchée dans le coefficient de la première puissance de x — Xo , mise en facteur dans tous les termes négligés*, et Ton obtient une valeur plus exacte de X — ^ jTo, qu'on substitue de la même manière; et ainsi de
suite.
On pourrait encore tirer la valeur de x-^Xq en faisant
ago coms d ahaltse.
mule (i) du n^ 227, qui donne, en remplaçant ^ par $^
et supposant u s=: f{pc) ,
Si Ton suppose d assez petit pour qu'on puisse négliger ^*, on aura simplement
I /(jt)rfx = (— -*- «, -+-«5 -4-. . .-h-j <ï.
Si l'on regarde y*(x) comme l'ordonnée d'une courbe , celte dernière expression est celle de la somme des trapèzes compris entre les ordonnées successives , les cordes de la courbe et l'axe des x,
2!)8. On peut encore employer la formule d'interpolation (i) du n° 233, pour représenter l'ordonnée de la courbe, puis l'intégrer entre les limites données; ce qui n'offrira aucune difficulté, puisque cette expression est entière et rationnelle.
L'emploi de cette formule revient à remplacer la courbe dont il s'agit par la parabole de degré n — i , qui a n points communs avec elle.
Quelquefois , au lieu de prendre cette dernière courbe, on considère une suite de paraboles du second degré passant chacune par trois des points donnés, et l'on remplace les parties correspondantes de l'aire cherchée par les aires de ces diverses paraboles, comprises entre les deux ordonnées extrêmes qui s'y rapportent. Il faut, pour œla^ que l'intervalle è-^^a soit partagé en un nombre pair de parties ; et chaque parabole donnera l'aire ayant pour base deux de ces parties consécutives.
L'équation de la parabole du second degré, passant par
j' = r. -H ^ Ar. +
SICONDB PAKTIB. 39!
les points dont les abscisses sont o, ^x, ^£^^ et les ordonnées jo , Ji , Js , est
son aire entre les ordonnées yo ? Jt est
Ax(2jro -h 2AJ0 ■+- T^'^o)?
ou
On aura de même l'aire comprise entre j-j etjy*, entrey^ etye? et enfin entre j^j^., etj^j„; et il faudra faire la somme des expressions suivantes , dans lesijuelles y^ , J^i î • • • 9 y^n désignent les valeurs de f{pc) relatives aux valeurs a^a^^ Aor, • . . , et & ou a + nùkxi
L'aire cherchée, ou i!intégrale I f{x)dx^ aura ainsi pour valeur approchée,
X* Aj:, , 2Aj:.
292 COimS D ANALYSlî.
