COURBURE DES SURFACES

239. Une surface ne pouvant avoîr, en général, un contact du second ordre avec une sphère , on ne peut rapporter la courbure des surfaces à celle de la sphère, comme on a rapporté la courbure des lignes à celle du cercle. Pour se faire une idée de la courbure d'une surface en un de ses points, l'un des moyens qu'on emploie consiste à faire des sections dans cette surface par des plans passant par le point que l'on considère , et à déterminer la courbure des lignes ainsi obtenues. Les sections qu'il parait le plus naturel d'examiner sont celles qui sont faites par des plans normaux à la surface : c'est par elles que nous commencerons ^ nous verrons ensuite comment leur courbure détermine immédiatement celle des autres . Soit z = F (a:, j) l'équation de la surface \ nous supposerons, pour plus de simplicité, que l'on ait choisi le plan tangent au point que l'on considère, pour plan des x elj^ et la normale pour axe des z *, les propriétés indépendantes des axes, que nous découvrirons ainsi , auront le même degré de généralité que si le système d'axes avait été tout autre. Un cercle situé dans un plan passant par l'axe des ^, et tangent, à l'origine des coordonnées, à la section faite par ce plan dans la surface , aura pour équations

y = mx^ x' -H j2 | 2? — 2R3 = g;

d'où

Pour qu'il y ait un contact du second ordre avec la sec-

tion , il faut qtie^-^ ait la même valeur dans l'une et l'autre

courbe. Or la dernière équation différentiée deux fois donne

S£.COMI>E PARTIE. 298

A l'origine , on a

dz z c= o,

d'où résulte

^^ — j n'étant pas une dérivée partielle. Pour en obtenir la

valeur, il faut remplacer y par mx dans Féquation de la

surface , puis différentier deux fois par rapport à ^ , et

faire x, /, z nuls : on trouve ainsi , pour valeur de la dé-

. , I dH

rivee totale -r-,^

r 4- 2*//î -4- tm"^ y

r^ s^ t désignant respectivement les dérivées partielles

dH dH dH

dx"^ dxdjr dy'-

Le rayon de courbure R de la section normale aura donc pour expression

Il restera toujours fini et de même signe si Ton a 5' — rt<Co : la courbure sera donc toujours dans le même sens. Il deviendra infini et changera de signe si s* — /t> o ; la courbure changera alors de sens. Sî 5* — /t = o, il devient infini sans changer de signe.

240. Si Ton cherche le maximum et le minimum de cette expression, relativement à la variable /w, on connaîtra le plus grand et le plus petit rayon de courbure des sections normales. L'équation qui détermine ces valeurs particulières est

(2) snt^ -♦-(/' — t)m — s =z o.

Les deux racines de cette équation sont réelles et de

2g4 GOUES d'analyse.

signes contraires; substituées dans la seconde denrée de R, elles donnent des résultats de signes différents, et , par conséquent , correspondent , l'une à un maximum , Tautre à un minimum algébrique.

Le produit de ces deux racines étant — i , les deux plans qui renferment les sections de plus petite et de plus grande courbure, et que nous nommerons sections principales, sont rectangulaires entre eux.

241 . Si Ton prend ces deux plans pour plans des or, r et desj^, z, l'expression générale de R se trouve simplifiée. Car les deux racines de l'équation (a) devant être alors o et oo, on devra avoir 5=0, et, par suite.

Dans le cas actuel , deux valeurs de R suffiraient pour déterminer r et f ; ainsi , quand on connaît la direction des sections principales, les courbures de deux sections normales quelconques de position connue déterminent toutes les autres.

Si Ton désigne par |0, p' les rayons maximum et minimum , on aura

On peut donc exprimer R en fonction de p, p', m , et Vou obtient ainsi

ou , en posant m = tanga ,

— = - cos^a -h -, sm' a.

Si l'on désigne par v la courbure d'une section quelconque, et par v\ v" celles des sections principales, elles

seront respectivement égales à —5 -» -^5 comme nous Ta-

vons vu dans le calcul différentiel , et Téquation précédente devient

(3) ' V = v' cos'a 4- V** sin*a ,

d'où Ton voit que les deux courbures principales déterminent celles de toutes les sections normales.

On déduit de cette équation plusieurs conséquences importantes :

1^. Si Ton mène par la normale deux plans également inclinés sur le plan d'une des sections principales^ la courbure des deux sections sera la même \

2^. Si l'on mène deux plans également inclinés sur les plans respectifs des deux sections principales , de quelque côté que ce soit , la somme des courbures de ces sections sera constante et égale à là somme des courbures des sections principales.

Car, en les désignant par v exv^^ on aura

v = v' cos*a -4- v" sin 'a , i>i = v' sin 'a -4- v" ces 'a ,

d'où

Si les deux angles a sont pris dans le même sens , les plans sont rectangulaires : d'où l'on voit que la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires entre elles est constante,

3°. Si l'on fait « = - 9 on a i; = • Donc la cour-

bure de chacune des sections dont les plans partagent en deux parties égales les angles des plans des sections principales , est égale à la moyenne entre les deux courbures principales -, et la spbère qui passe par les cercles osculateurs de ces sections donne la même somme que la sur-

i2g6 COURS d'analyse.

face , pour les courbures de deux sections normales rectangulaires. On voit encore que deux plans également inclinés sur un de ces plans moyens donnent des sections dont la somme des courbures est t/ -h v'\ puisque ces plans font des angles égaux avec ceux des sections principales. ^

242. Indicatrice, — Si, à partir d'un point quelconque d'une surface , on prend sur la normale une longueur infiniment petite, et que par son extrémité on mène un plan perpendiculaire à la normale, il coupe la surface suivant une courbe infiniment petite, que M. Ch. Dupin a considérée le premier, et qu'il a nommée indicatrice. Toutes les propriétés que nous venons de démontrer s'en déduisent très-simplement, ainsi que beaucoup d'autres qu'il convient d'étudier dans les ouvrages de Fauteur. Il est facile de reconnaître d'abord que cette courbe est du second degré, si Ton néglige les quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions \ ce qui signifie que, lorsque cette courbe tend à se réduire à un point , à mesure que son plan se rapproche du plan tangent , une courbe finie qui lui serait semblable aurait pour limite une section conique.

En effet , si l'on prend la normale pour axe des z , l'équation de la surface, rapportée à des axes rectangulaires, sera généralement

z = I rjc' H- jj?7 -f- f <X' -I- • • • >

et l'on sait qu'on peut choisir dans le plan des x, y deux axes rectangulaires particuliers tels , que le rectangle xj ne se trouve pas dans le second membre. En les choisissant , l'équation de la surface sera de la forme

On sait encore que si les coefficients r, t sont inégaux, il

SECONDE PAHTIE. 2Q']

n'y a qu'un seul système d'axes rectangulaires qui jouisse de la propriété de faire disparaître le rectangle :f)^; et que, s'ils sont égaux, il y en a une infinité.

Si maintenant on fait ^ =3 a , ^ étant infiniment petit , et qu'on se borne aux termes du second degré en x et /, on aura pour équation de la section, qui est l'indicatrice,

équation qui représente une ellipse ou une hyperbole , dont le centre est sur la normale.

Soient A (Jig. 7) le point de la surface, AN la normale, A0=«, et BC l'intersection du plan de l'indicatrice par un plan normal quelconque. Le centre de courbure de cette section est la limite de la rencontre de AN avec la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde AC 5 et si l'on appelle R le rayon du cercle osculateur, on

OC aura R =: -^ ? ou, en désignant par ak le diamètre BC de

l'indicatrice que nous supposerons elliptique, R = — •

On conclut de là que les sections dont les plans passeront par les axes de l'indicatrice auront la courbure maximum ou minimum. Toutes les autres conséquences s'en déduiront facilement,. et l'expression de R en fonction de r, Sy t s'obtiendra comme précédemment pour un plan quelconque ayant pour équation y = mx : car on aura

2a(l + AW') I -h w-

Si l'indicatrice était une hyperbole , le rayon de courbure deviendrait infini lorsque le plan de la section passerait par une de ses asymptotes , puis aurait une expression négative si l'on ne changeait pas de signe a. Il faudra donc , pour l'avoir positif, mener le plan de l'indicatrice de

Tautre côté du plan langent; ce qui montre que la courbure des sections a changé de sens. Les deux indicatrices que l'on obtient ainsi sont deux hyperboles conjuguées , et leurs axes réels correspondent aux sections de plus grande courbure parmi toutes œlles qui sont situées du même côté du plan tangoit»

Si Ton avait conservé le signe de l'expression de la courbure , on aurait , comme nous l'avions dit en général , un maximum et un minimum pour les courbures principales.

L'indicatrice pourra encore être du genre de la parabole, qui comprend le cas de deux droites parallèles : c'est ce dernier cas qui arrivera si l'on a

r = o ou f = o.

Cela ne signifiera pas que la section de la surface par le plan parallèle au plan tangent n'est pas une parabole; car une parabole dont le paramètre est infiniment petit, étant considérée à une distance finie de son sommet , se confond sensiblement avec deux droites parallèles. Ainsi , lors même que la section serait une parabole, Tindica- Irioe se présenterait comme Fensemble de deux droites parallèles, excepté dans le cas. où le sommet de cette parabole serait à une distance infiniment petite du point que Von considère sur la surface : ce cas ne peut être qu'exceptionnel , puisqu'il n*a pas lieu dans l'hypothèse la plus ordinaire où Téquation de la surface peut être développée comme nous Pavons supposé .

Lorsque l'indicatrice est du genre de la parabole , il n'y a qu'une seule direction pour laquelle la courbure soit nulle, ou le rayon de courbure infini ; c'est celle de Taxe de la parabole.

Cette direction est celle de la courbure minimum ; la courbure maximum est dans la direction perpendiculaire.

siooNDB PAarin. 299