La courbure des sections obliques se ramène i
celles des sections normales. En effet, soit ï{K(Jig. 8)
l'intersection du plan de l'indicatrice et d'un plan passant
par la tangente en  , à la section normale BAC , et faisant
un angle e avec le plan de cette section. La corde HK étant
parallèle à la tangente menée en A à la courbe H AK , la
perpendicuUire AP abaissée de A sur HK , partage cette
ligne en deux parties que l'on regardera comme égales,
parce qu'elles ne diffèrent que d'un infiniment petit du
second ordre : OP est perpendiculaire à HK , et du second
OP ordre comme AO, puisque — = tange. On peut donc
regarder les longueurs BC , HK comme égales *, et le rayon
PK.
de courbure de la section H AK , qui a pour valeur -^ 9
sera égal à -^ ; il est donc égal à celui de la section normale BAC multiplié par '— ou cos s. D'où Ton déduit
SlA.
ce théorème remarquable , dû à Meunier, que le rayon de courbure d'une section oblique s* obtient en projetant sur le plan de cette section le rayon de courbure de la seC" tion normale quia la même tangente,
244. La position particulière que nous avons donnée aux axes a rendu plus facile la démonstration des propriétés précédentes; mais il est nécessaire de traiter la question pour une position quelconque des axes, parce qu'on peut avoir à déterminer les sections principales en un point quelconque d'une surface , rapportée à des axes rectangulaires quelconques.
Soient x\ y\ z' les coordonnées d'un point quelconque d'une surface donnée , et a , 6 , y les angles formés avec les axes par une tangente à la surface en ce point , on aura cos y = p cos a + 9 cos è , puisque l'équation du plan
3oo coo&s d'analyse.
tangenl est z — z ^=p{x — J:') + 9(j — j'), et que les différences x — x\ y — y\ z — 2! sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec les axes une droite située dans ce plan. Si Ton substitue à cosy sa valeur
^i — cos*a — cos*6, on obtient
(i) (i +/'^)cos'a + 2/'9COSacos6 + (i -h ^*) cos' 6 = 1 .
C'est la condition pour que les angles a , 6 appartiennent à une tangente quelconque.
Si par le point {x\y\ 2'), et par un autre point infiniment voisin , pris sur la courbe qui se rapporte à cette tangente , on mène deux plans normaux à cette courbe , ils se couperont suivant Taxe du cercle osculateur de cette courbe , et les équations de cette droite seront
(x-^x')da/ ^{f^y')dy -h{z^z')dz' =0,
Cette ligne, étant dans le plan normal à la surface, rencontre la normale, dont les équations sont
j: — x' -1-/7(2 — 2') = 0, y — .jr'4-<7(3 — z')=:o.
Les coordonnées x, y, z du point de rencontre seront données par les équations
en posant
dH' — pd^'x' — qd'^y* = T^ds'\
La valeur de D peut être transformée en différentiaut l'équation
dz' -=. pdx' 4- fidy'y ce qui donne
d^z' = pd^x' -h qd^x' H" ^dx"^ -+- 7,sdx'dy^ -h idy'^
SECONDS PAU TIC. 3oi
et, par suite,
= r cos'a -f- us cos a cos6 + t cos' 6.
On voit par là que D reste le même si a et 6 ne changent pas -, il en est donc ainsi du point de rencontre de la normale à la surface, et de Taxe du cercle osculateur de toutes les sections obliques, dont le plan passe par la même tangente.
Il résulte de là que toutes ces sections ont leurs centres de courbure sur une circonférence dont le plan est perpendiculaire à leur tangente commune, et dont le diamètre est la ligne qui joint le point de contact au point fixe, que nous venons de trouver sur la normale. Ce point est donc lui-même le centre de courbure de la section normale \ et Ton voit que les rayons de courbure de toutes les sections qui ont la même tangente sont les projections de celui de la section normale sur leurs plans respectifs.
D'après les valeurs que nous avons trouvées pour les coordonnées du centre de courbure de la section normale , son rayon de courbure aura pour expression
ou
rcos'a-f-aj cosacos6-|-rcos*ê
245. Le maximum ou le minimum de R, relativement à la variation de a et 6 , correspond au minimum ou au maximum du dénominateur, et sera donné par l'équation
(r cos a -h .V cos6)rf.cosa = — (.v cosa -f- f cos 6) c?. cos 6;
3o2 GOUIS D^ANALTSB.
on éliminer Si d. cas a et d.cosë en différentiant l'équation (1)9 ce qui donne
[(i •+• />')cosa -h pq cos^]d.cos et
= — [(i -+- ^*)cos6 -h pq cosa]d.cos^f
et, divisant ces deux équations par ordre, il vient
.^ rcosaH-*oos€ rcos€ + 'cosa
(i H- />')cosa-i- f?gcos6 (i +9')oo66 -h/'^cosa
Les équations (i), (2), (3) déterminent les valeurs dea, 6,R, qui se rapportent aux sections principales.
Pour faire plus commodément ce calcul, on multipliera par cosa les deux termes de la fraction qui forme le premier membre de l'équation (3), et par cos6 les deux termes du second membre , puis on ajoutera les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux \ la fonction résultante, qui est — , sera égale à chacun des membres de l'équation (3) , ce qui donne
(3)bis ou
rcosa -4- ^ cos€ = D[(i -h p*) cosa -f- />ycos6], /cos6 -h f cosa = D[(i H- q^) co$6 4- pq oosa].
I [D(i + p^) — r] cosa r= (j — pqD) cos6, |[D(i -+- q^) — /]cos6 = (s — /?^D)cosa.
Ces deux équations, multipliées membre à membre, donnent
{D(i 4- p') - r] [D(i -+. q') ^ t] = (s ^ pqB)%
OU
{i-{-p'-hq')D'^D[(i'hp')t-{-{ï-{-q')r---2pqs]-{-rt = sK Cette équation fera connaître les deux valeurs de D rela-
sfecovi» »AiiirtË. 3o3
tives aux sections principales; et, comme on a
w% i ' ■ - « Il 1 1 1 1 I y
Téquation qui donnera les rayons de courbure de ces sections sera
Enfin les valeurs de ce et 6 seront déterminées par l'équation (i) et Tune des équations (4).
246. Si l'on veut connaître les points particuliers de la surface où les sections principales, et , par suite, toutes les sections normales ont la même courbure, il faut exprimer que les deux racines de l'équation (5) sont ^ales. Il semble d'abord que l'équation qui en résulte entre p^ ^, r, ^, f , jointe à celle de la surface , déterminerait une ligne; mais il est facile de voir que l'égalité de ces racines conduit à deux équations.
En effet , l'équation de condition peut se mettre sous la forme
j^(i ^ p^)t -- {i -h q')r -H ^pq \~p - s^J
4- 4 (i -f- ^ -h ^•) \~^2 - ^^y ^ o; or elle ne peut évidemment être satisfaite qu'en posant ^^'^ — j = o, et (i^p^)t — {i-^q^)r=:Oy
équations qui peuvent s'écrire ainsi :
1+/?' !-}-<?' pq
Ces deux équations, jointes à ceUe de la surface, déter-
3o4 coufts d'ahaltse.
minent un nombre fini de points, auxquels on a donné le nom à! ombilics. On les aurait obtenues en exprimant que les valeurs de D, données par les équations (4)9 sont indépendantes de a et 6, comme cela doit être pour que la courbure de toutes les sections normales soit la même.
247. Tangentes conjuguées. — Si l'on trace une courbe quelconque sur une surface , et que , par tous ses points , on mène les plans tangents à la surface , ces plans , par leurs intersections successives, détermineront une surface développable circonscrite à la première. Ses arêtes sont inclinées sur la courbe de contact suivant une loi remarquable que M. Dupin a reconnue le premier, et que nous allons faire connaître.
La question que nous nous proposons est donc celle-ci :
Le point de contact d'un plan tangent à une surface quelconque se déplaçant suii^ant une certaine direction y trouver à la limite la droite suivant laquelle ce plan tan^ gent sera coupé par le plan infiniment voisin. Ces deux directions sont tangentes à la surface, et M. Ch. Dupin leur a donné le nom de tangentes conjuguées.
Pour cela , nous prendrons pour origine le point de contact de la surface avec le plan tangent que l'on considère, et dans lequel nous prendrons les axes des x ^l y :.nous choisirons, comme dans le n^ 242, pour directions de ces deux axes, celles pour lesquelles le rectangle ooj ne se trouvera pas dans le développement de z suivant les puissances ascendantes de ces variables. Nous aurons alors, pour a: = o , j^ = o , les conditions
Soient x\y\ z les coordonnées infiniment petites du point de contact d'un second plan tangent *, la direction suivant laquelle se sera déplacé le point de contact fera , avec l'axe
des x^ un angle dont la- tangente sera là limite de — ^ , lorsque
SBCONDS METtE. 3o5
sc\y tendront vers zéro^ nous désignerons cette limite par m. L'équation du plan tangent au point x^y' z' sera
et si l'on observe qu'à l'origine on a
/î=rO, q z=z O, 5=0,
il s'ensuivra, en observant que x\ y' sont infiniment petits,
p' = rx', q' = ty\ z' = — -h ^7 et l'équation du plan deviendra
z = rx'x 4- tyy -^^ ^ .
faisant z := o pour avoir l'intersection avec le premier plan tangent, qui est celui des x et y, il vient, en rempla-^ çant j^' par mx' et divisant par x\
rx
+ tmy (r -4- /w*0 = o.
Pour avoir la droite cherchée, il sufBt de faire 0:'= o dans cette équation, et il vient
(^) rx + tmy = o
pour équation de la tangente conjuguée de celle dont la direction est déterminée par wt. Si donc on désigne par m' la tangente de l'angle que cette droite fait avec l'axe des o*,
on aura
tm d'où
mm' z=: .
On voit donc que les direeuons de deux tangentes conju-
2* édit, 20
3o6 copEs d\jim,y^^.
guéefi qiidcQiU]U6s sont celles Je deux diamètres couju-
giuis de la section eopique ^yaut pour équation
rx^ -I- (;'' = c,
c désignant une constante quelconque. Cette courbe u^est autre que l'indicatrice au point que l'on considère, et dont nous avons donné l'équation dans le n^ 242 . Car on désigne sous cette dénomination générale, non-seulement la section infiniment petite , faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent , à une distance infiniment petite, mais encore à toute section conique semblable à celle qui est donni^ par 1'int.eFseçtiou dp ce plan avec la surface.
L'angle des tangentes conjuguées est droit quand elles sont dirigées suivant les deux diamètres conjugués rectangulaires de l'indicatrice, et, par conséquent, suivant les directions des eourbures maximum et minimum.
Nous nous bornerons à o^tte propriété fondamentale des tangentes conjuguées, qui montre un nouvel usage de l'indicatrice dans l'étude générale des surfaces , et nous renverrons, pour plus de détails, aux Mémoires mêmes de l'auteur.
Liynes de courbure.
^481. Si ^ par tous les points d'une ligne tracée sur une surface, on mène des normales à cette surface, elles sont, en général, dans des plans différents, et )a plus courte distance de deux d'entre elles, correspondantes à des points infiniment voisins sur la surface , est un infiniment petit du même ordre que la distance de ces deux points et que l'angle de ces mêmes normales.
Mais on peut se proposer de d(çt,çrminer les lignes qu'il faudrait tracer sur la surface pour que la plus courte dist^nm d^s UiOirmales «ucces&ivç^ fut, noii pa& nielle, mais
SBCOHDC PARTIE. 30^
infiniment petite par rapport à la distance des points correspondants de la surface^ et à l'angle des deux normales. Les normales se trouveront alors dans le même das que les tai^entes à une courbe à double courbure; et leur ensemble formera une suiface développable. Soienta:', y\ z ' les coordonnées d'un point quelconque d'une surface, les équations de la normale en ce point seront
or — jr'-f- /?(2— 2') = o, r — r' -H ^(2 — aQ = o.
Le point d'intersection de cette ligne et de la normale au point infiniment voisin, dont les coordonnées sonta:'+^S y H- dy\ z + dz\ sera donné par la combinaison de ces deux équations et de leurs différentielles par rapport à x\ y\ z\ qui sont
— dx' — pdz' 4- {rdx' -f- sdy') (2 — »') = o,
— dy' — qdz' + {fdy' -h sdx') {z — «') = o,
ou , en remplaçant dz' par pdx' + (ldy\
j(l H- p^)dx' -f- pqdy' = {rdx' 4- sdf) {z - *'),^
La condition pour que les deux normales se i^ncon* trent, s'obtiendra en exprimant que les valeurs de z — z sont les mêmes dans ces deux dernières équations*, on trouve ainsi
{\'\'P'')dx''\'pqdy' [y ^ q>) dy ' '\- pqdx* ^9^ rdx' -it- sd:f' tdy'^sdx' '
équation qui est la même que l'équation (3), et donne, par conséquent, pour ^, les deux valeurs qui se rapportent aux tangentes des sections normales de courbures maximum et minimum. Seulement il faut bien observer que l'équation (9) n'exprime pas que les deux normales se coupent réellement, puisqu'on a négligé les termes du % 20.
3e8 coufts d'àvaltse.
second ordre; mais que Ton trouvera pour x, j', z des valeurs qui satisferont aux équations de la première normale, et telles qu augmentées de quantités d'ordre supérieur au premier, elles satisferaient à la seconde. Elle exprime donc que la plus courte distance des deux normales est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier.
Si Ton élimine —, entre les équations (8), il vient
Cette équation , jointe aux équations de la normale
déterminera les coordonnées x, y^ z du point de rencontre des deux normales infiniment voisines; et l'on aura la surface, lieu de tous ces points de rencontre, en éliminant x\y\ z' entre ces trois équations et celle de la surface donnée.
