Les équations (8) ne difl'èrent des équations (3) his

que par le changement de -- en {z — z), La valeur de

(z — ^') V^i + /7* 4- 9% ou la partie de la normale comprise entre le point de la surface et le point de rencontre avec la normale infiniment voisine , sera donc égale a

- V^i 4- /?' + 7' ou à R. Ainsi , les distances du point de

la surface aux points où les normales infiniment voisines se rencontrent sont égales aux rayons des courbures principales. Ces deux points de rencontre ne sont donc autre chose que les centres des courbures principales.

250. Cela posé, déterminons la courbe qui, en chacun de ses points, jouit de la propriété d'être tangente à la section principale , et qui est telle , par conséquent ,

siGQiroE PA&TiE. Soq

que les normales à la surface , menées par deux ]X)ints inilnimenl voisins, pris sur cette courbe, se rencontrent. Les coordonnées x\ j\ z' d'un quelconque de ces points satisferont à l'équation (9) et à celle de la surface : cette dernière donner' en fonction àeûç\y\ et, si Ton substitue cette valeur dans l'équation (9), on aura une équation du premier ordre entre x\ y\ et du second degré par rap-

port à -^, ; on l'intégrera , et l'on aura deux équations

finies , renfermant chacune une constante arbitraire, que l'on déterminera en exprimant que chacune de ces deux équations entre x' et j| est satisfaite par les cooi^onnées du point de la surface par lequel ou voudra faire passer les courbes.

C'est ainsi qu'on détermine les équations de ces lignes remarquables auxquelles on a donné le nom de lignes de courbure,

â51. Cherchons maintenant l'équation de la surface développable , lieu des normales à la surface donnée, menées par tous les points d'une de ses lignes de courbure.

Les équations d'une quelconque de ces normales seront

X ^ ju^ -i- p(z-^z') =z o, jr -^ y—^ q(z^z') = o,

et les coordonnées x\ y\z' devront satisfaire à l'équation de la surface donnée et à l'intégrale de l'équation (9). Si donc on élimine a:', y\ 2' entre ces quatre équations, 1 équation finale entre x\ j'\ z^ sera celle de la surface cherchée.

Les deux surfaces obtenues ainsi pour lc$ deux ligne» de courbure qui passent par un même point se coupent à angle droit -, et, en général , toutes celles qui se rapportent k Tun des systèmes de lignes de courbure coupent

3io coofti d'a«ai.¥1B.

à angle droit toutes ceUes qui se rapportent à l'autre

système.

252. Enfin, si Voa veut connaître le lien des points de rencontre des normales consécutives, ou Farête de rebroussement de la surface qui est le lieu de ces normales, il faudra joindre l'équation (lo) à celles qui ont détermine Féquation de cette surface. On en éliminera x\ y\ z* au moyen des deux équations de la normale , et de celle de la surface donnée ; on aura ainsi une seconde équation entre or, y^ x, qui , jointe à celle de la surface développable , déterminera Tarète de rebroussement qui correspond à la ligne de courbure que l'on considère.

Celte seconde équation entre x^ y^ z étant indépendante de la ligne de courbure, est satisfaite par les arêtes de rebroussement relatives à toutes les lignes de courbure de la surface donnée ; elle représente donc le lieu de ces arêtes, ou de tous les points de rencontre des normales consécutives de la surface donnée.

253. Les points de rencontre des noimales consécutives sont, comme nous Tavons dit , les centres des cercles osculateurs des sections principales : mais il faut bien se garder de croire qu'ils soient les centres des cercles osculateurs des lignes de. courbure^ car les normales qui y passent sont tangentes à une même courbe, propriété qui n'appartient jamais aux normales qui passent par les centres de courbure d'une courbe qui n'est pas plane. Or, en général , les lignes de courbure ne sont pas planes ; et même elles pourraient l'être sans que leurs cercles osculateurs se confondissent nécessairement avec ceux des sections principales : on en voit un exemple très-simple dans les parallèles d'une surface de révolution. Il faut, en outre, que leurs plans osculateurs soient normaux, et que, par conséquent, les lignes de courbure soient les lignes de plus courte distance sur la surface.

SICORDB PARTIK. 3l I'

^Ipplication au paraboloide elliptique,

254. Soient aa, ai les paramètres des paraboles principales d'un paraboloïde dont Taxe est dans la direction des z positifs ^ Téquation de Cette surface sera

et l'on aura

2« ib

jc r 1 î

L'équation (8), qui appartient aux deux ligues de courbure , devient ainsi , en posant y = A, a(a — è) = B,

Si Ton différentie cette équation , on obtient

Si l'on tire de là précédente la Valeur de x^ — ky^ + B , et qu'on la reporte dans la dernière , on trouve

XY — ; — ' -t- -7- I X -T-

dx^ ax \ dx

Divisant par xy -r-i elle devient

d'^y dy

dx^ dx I

3f2 GOU&8 D'ANAIiYSE.

Les trois termes étant des dérivées exactes, on aura, en intégrant ,

Cdx ^ ' dx y

d'où Ton tire, en intégrant de nouveau,

Mais cette équation, avec deux constantes arbitraires, est Tintégrale de l'équation du second ordre, et doit renfermer, comme cas parti cidier, celle de la proposée. En substituant cette valeur de y dans Téquation du premier ordre, on trouvera entre C et C une condition qui réduira ces constantes à une seule. Cette condition est

C = ? de sorte que l'équation générale des lignes

de courbure du paraboloïde est

OU , en substituant à A et B leurs valeurs ,

y-' = Cx^ +

Ces courbes se projetteront donc sur le plan des x ^X. y suivant des hyperboles ou des ellipses , suivant que C sera positif ou négatif.

La valeui' de cette constante sera déterminée si l'on donne les coordonnées x\ y\ du point de la surface par lequel on veut faire passer la ligne de courbure : on aura ainsi Téquation

. «jc'^C -^ {bx'^-^ay^'' 4- ah{a — b)\C — ^ j " = a;

SECONDS PAETIB. 3l3

d'où l'on tire pour C des valeurs réelles inégales , Tune positive et l'autre négative , que nous désignerons par a et — 6. Les équations des deuK lignes de courbure qui se croisent au point donné ont donc pour équatioiis

. abia — b)<K

j' = oo:' H j^ i-

o -f- aa

, , ab (a — b)^

Si l'on suppose ^ >> £, la parabole, située dans le plan des X et Zj est celle qui a le plus grand paramètre. Les hyperboles suivant lesquelles se projettent les lignes de courbure ont alors leur axe réel dans la direction de l'axe

desj^, et sa longueur est i/ — j —'>, elle est maxi-

mum pour a = oo , et sa valeur est ^b (a — b)'^ les hyperboles se réduisent alors à Taxe des y. On voit donc qu'en portant sur Taxe des y, de part et d'autre de Torigine,

des longueurs égales à ^b(a — 6) , on aura les limites entre lesquelles tombent les sommets des hyperboles, qui sont les projections d'un des systèmes de lignes de courbure.

L'équation qui représente les projections des lignes de l'autre système donne toujours des ellipses réelles, parce

que Ton sl aS — i > o, ou 6 > — En effet , si Ton substitue à C dans l'équation qui détermine cette constante , on trouve un résultat négatif ; et , comme elle n'a qu'une seule racine négative, cette racine est numérique-

ment plus grande que -^ ainsi l'on a 6>-, quels que

soient a?', y' ^ et l'équation ne donne que des ellipses réelles.

3 1 4< f^OV AS D 'analyse.

Le demi- axe des x est égal à i/ — j-^, et le demi-

axe des y à i/ — ^ 7^. La valeur minimum de ce dernier correspond à S == 00, et est y/i(a — A) 5 elle donne les mêmes points déjà trouvés pour la limite supérieure des axes réels des hyperboles. Dans ce cas, l'ellipse se confond avec une partie de l'axe des y.

Si Ton a x = o, une valeur de C est infinie*, l'autre

est positive si l'on ai y' <C^b(a — i), et négative dans le cas contraire. Dans le premier cas, les deux lignes de courbure sont une hyperbole et Taxe des j'; dans le second cas, elles se composent d'une ellipse et de l'axe des y.

Sl^' = o, une des valeurs de C est nulle, et l'autre négative. Les deux lignes de courbure sont alors une ellipse et Taxe des x.

255. Les équations qui déterminent les ombilics deviennent, dans le cas que nous examinons,

ce qui donne les deux systèmes

^ = 0, yt:=^±\Jb{a^b)j et / = o, J7 = ±:^fl(6 — a),

' On voit qu'un seul donne d€fs coordonnées réelles -, et , dans le cas actuel , c'est le premier, puisque nous avons supposé a>5. Il y a donc deux ombilics dans le paraboloïde elliptique^ ils se trouvent sur la parabole principale qui a le plus petit paramètre, et ne sont autre chose que les deux points que nous avons déjà reconnus comme limite des sommets des lignes de courbure.

256. Si le paraboloïde est de révolution, les ombilics se confondent avec le sommet. Les deux valeurs de C

SECONDS PARTI». 3l5

deviennent — 7^ et — i ^ et les équations des lignes de courbure sont

^2 = ^ a?% et ^^-ha:^ = o;

la première représente tous les plans passant par Taxe de révolution, et la seconde, des cylindres ayant pour base, sur le plan xj^ des cercles de rayon arbitraire, ayant leur centre au sommet. Les lignes de courbure sont donc les méridiens et les parallèles , comme cela a lieu dans toutes les surfaces de révolution. Quant au lieu des centres de courbure , il se compose évidemment de Taxe de révolution et de la surface engendrée par la révolution de la développée de la courbe méridienne autour du même axe.

Nouvelle théorie de la courbure des surfaces.

257. Pour avoir uneidée nette de la forme d'une surface, dans le voisinage d'un quelconque de ses points , il ne suffit pas de connaître la forme des sections faites par des plans passant par la normale en ce point , quoique ces courbes déterminent tous les points de cette surface. Il est encore nécessaire de connaître la loi suivant laquelle varie la direction de la surface elle-même, ou de son plan tangent quand on marche suivant une quelconque de ces courbes, ou quand on passe de Tune à l'autre. Ainsi, la courbure des sections normales , d'où se déduit d'ailleurs celle des sections obliques , ne suffit pas pour donner, dans le voisinage du point , une connaissance approfondie de la forme d'une surface. Elle ne fait connaître que la loi d'inflexion des courbes tracées sur cette surface, et non la loi d'inflexion de la surface elle-même.

L'ingénieuse théorie des tangentes conjuguées ne suffit

3t6 COURS l»*AIfAL¥Sft.

pas non plus pour remplir cet objet; car, quoique la dépendance des directions de ces deux tangentes soit liée d'une manière intime à la forme de la surface, elle ne saurait en donner une idée netle, parce qu elle en est une conséquence très-éloignée.

On voit donc ce qui manque encore dans l'étude que nous avons faite jusqu'ici de la forme des surfaces. Nous la compléterons au moyen d'une considération nouvelle, due à M. Bertrand. C'est de son Mémoire que nous avons extrait les diverses propositions que nous allons exposer, et qui constituent réellement une nouvelle théorie de la /Courbure des surfaces.

238. Soient A ( fig. 9) un point quelconque d'une surface, et AZ la normale. Menons par AZ des plans dans toutes les directions , et sur chaque courbe d'intersection de ces plans et de la surface prenons , à partir de A , une longueur infiniment petite, AM = t ; cette longueur, divisée par l'angle des tangentes extrêmes , donnera le rayon de courbure de cette courbe au point A.

Soit maintenant MN la normale à la surface en M. Sa direction sera déterminée par les angles qu'elle fait avec trois axes rectangulaires, par exemple la normale AZ, et deux droites AX , A Y menées à angle droit dans le plan tangent en A. Pour obtenir des expressions plus simples pour les cosinus des angles cherchés , nous choisirons pour les axes- AX , AY les deux directions pour lesquelles

on a -r—r- nul à l'origine. Ce systèriie est unique en général ; on Tobtient en faisant disparaître le rectangle Xf dans le développement de la valeur de z suivant les puissances croissantes de x et y, La discussion est la même que celle que l'on fait dans la théorie des courbes du second degré; et si, après la disparition du terme renfermant jrr, les coefficients de a:* et y^ étaient égaux , tout

SBCONDC PAKTIK. Bl^

système d'axes rectangulaires jouirait de la profNnété de faire disparaître ce même terme. Cela posé, faisons, en général ,

dz dz dz ^ dH d^z

di^^'' ^^'^' rl?="** d^"^^' dp-^^'

on aura, à Forigine,

Si Ton désigne maintenant par X, Y, Z les angles que fait avec les axes la normale en un point quelconque de la surface , on aura , conmie on le sait ,

cosX = >/?, cosY = X^, cosZ = — X,

la valeur de X étant

le double signe correspondant aux deux sens de la normale.

Appliquons ces formules au point M , et désignons par a l'angle que fait avec ZAX la trace AU du plan de la section sur le plan tangent 5 les trois coordonnées x,y^ z du point M seront respectivement, en négligeant les infiniment petits du second ordre, e cosa , e sin a , o. Pour connaître les valeurs de Xp, iy, — X au point M, il suflSt d'ajouter à leurs valeurs en A les accroissements qu'elles subissent par les changements infiniment petits que reçoivent les coordonnées quand on passe de l'origine A au ' point M. Or, au point A , on a

dp dq dy dx

en choisissant le signe supérieur du radical. On aura donc, au point M ,

(1) cosX = srcosa^ cosY = sf sina, cosZ = — i,

p =z o f q=iOy s = -j- =: --p- = o y et X = I,

3l8 COVAft D AMALYIC.

les valeurs de r et £ se rapporlant à Torigine. Telles sont les formules très-simples qui déterminent la direction d'une normale quelconque infiniment voisine de la première. Elles forment la base de la théorie que nous allons exposer.

259. Nous avons dit que ce qu'il fallait connaître, c'était la loi suivant laquelle varie la direction de la normale à la surface dans le voisinage du point A. Or, c'est à quoi l'on parviendra en exprimant, au moyen de a et e : i^ l'angle que fait avec AZ la projection de la normale MN sur le plan de la section ; 2° Tangle de MN avec sa projection, c'est-à-dire avec le plan AZM. On peut remarquer que la première de ces deux coordonnées angulaires détermine la courbure de la section normale AZM. Considérons d'abord le premier de ces deux angles : il est complément de celui que MP forme avec AU 5 et, en négligeant toujours les infiniment petits de second ordre, ce dernier est le même que celui de MN avec AU, parce que le plan de l'angle infiniment petit NMP est perpendiculaire au plan ZAU, et ses côtés font des angles finis avec AU. Mais, d'après les formules (i), le cosinus de l'angle de MN avec AU , qui est égal à

cosX cos« H- cos Y sin a ,

aura pour valeur

^(/•cos'a -h tsin^a).

C'est le sinus de l'angle de contingende de la section, ou cet angle lui-même. En le divisant par l'arc d, on aura la courbure que nous désignerons par v 5 ce qui donnera la formule

(2) 1) = rcos'a -h /sin'a.

260. Passons maintenant au second angle NMP. Il est évidemment le complément de celui que MN fait avec la

S£CO;fD£ PABTIR* 319

perpendiculaire au plan ZAU. Prenons la direction de celte dernière dans le sens où elle fait avec AX IVngle

a -I- - j et cherchons le cosinus positif ou négatif de l'angle

qu'elle fait avec MN : ce sera le sinus de NMP, ou cet angle lui-même, considéré comme positif quand la normale MN sera du même côté de ZAU que la droite menée

sous l'angle « 4- ~ , et négatif quand il sera du côté op-

posé.

L'expression de ce cosinus est

cosX cos I a H 1 -4- cos Y cosa ,

« sina cosa [t — /•), ou encore

C9io2oe , ,

Si donc nous désignons par co Fangle positif ou négatif NMP, nous aurons

(3) . * w = -i- 6 (^ — r) sin 2 a.

Les formules (a) et (3) donnent Pexpression des deux quantités que nous nous proposions de déterminer^ nous allons en développer les principales conséquences.

261 . Conséquences de la formule (3). •— Si nous supposons e constant , Fangle 6) variera proportionnellemenl au sinus du double de l'angle a ^ d'où il résulte immédiatement qu'il est nul pour les quatre valeurs particulières

a =t O, a = -» a = TT, a =r — 5

c'estnà-dir« quand le point M se diéplaee suivant Tune quelconque des deux directions AX , AY.

On voit de plus que l'angle « ne peut devenir nul pour

320 GOOftS uVnaLTSIK.

aucune autre direction, à moins que l'on n*ait t = v auquel cas il est nul pour toute direction.

Nous obtenons ainsi cette propriété remarquable :

En tout point d'une surface quelconque, il existe deux directions rectangulaires , telles que les normales à la surface menées par les points infiniment voisins du premier dans l'une quelconque de ces deux direc*' tionSy sont situées dans le plan normal conduit suii^ant cette direction ; elles sont donc dans un plan contenant la première normale ^ et, par conséquent, la rencontrent. LorsquUy a plus de deux directions jouissant de cette propriété, toutes les autres en jouissent.

Nous donnerons à ces deux directions remarquables la dénomination de directions principales. Il ne faut pas oublier que nous avons négligé les infiniment petits du second ordre. Ainsi Ton doit entendre que les normales , menées par les points situés à une distance infiniment petites les unes des autres dans ces directions, peuvent bien ne pas réellement se rencontrer, mais que leur plus courte distance, si elle n'est pas nulle, ne peut être qu'un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier.

On a donné un nom particulier aux courbes tracées sur une surface , et qui , en chacun de leurs points , ont une direction qui jouisse de la propriété que nous venons de reconnaître^ on les nomme des lignes de courbure. On peut évidemment en faire passer deux par un point quelconque de la surface.

262. La formule (3) conduit à une proposition générale, que nous allons faire connaître, et d'où nous aurions pu déduire la précédente \ mais celle-ci se présentait si naturellement, que nous avons cru devoir la faire remarquer immédiatement. Si nous considérons les deux direc-

tions déterminées par les angles a et a H — ^ a ayant une

valeur quelconque , les deux valeurs de &> seront égales et de signes contraires ] donc , en ayant égard au sens dans lequel nous avons fait voir qu'il fallait porter l'angle co , suivant qu'il était positif ou négatif, nous pouvons établir la proposition suivante :

Sî, en un point quelconque d'une surface y nous considérons deux directions rectangulaires sur lesquelles nous prenions des longueurs infiniment petites égales , et que , par leurs extrémités , nous menions des normales à la surface, ces normales feront respectii^ement des angles égaux auec les plans menés par la normale au premier point et chacune des deux directions; et, de plus y elles seront toutes les deux comprises dans V angle dièdre droit que forment les deux plans y ou toutes les deux en dehors.

Cette propriété, découverte par M. Bertrand, renferme évidemment la précédente, comme il Fa fait voir. En effet , puisque le sens dans lequel il faut porter l'angle oo change en passant d'une direction à celle qui lui est perpendiculaire, il y a nécessairement une direction intermédiaire pour laquelle l'angle o) est zéro. Il est donc nul aussi pour la direction perpendiculaire à celle-ci , et l'on retombe ainsi sur la proposition précédente.

263. Conséquences de la formule (2). — Considérons deux directions rectangulaires quelconques correspon-

, j dantes aux angles a et a H — • Désignant par v^ v' les cour-

bures de cçs deux sections normales , nous aurons

V = rcos'a H- fsin'a,

v' z= r sin^ a -j- / cos ' a ; d'où

On arrive donc à ce théorème remarquable :

2* édit, 21