Deuxième exemple. — Soit
xdy — ydx == dx \x^ -f- J^
Cette équation étant encore homogène relativement à X ety, on posera j^ = lix^ et V<ytï obtiefïdra , toute i*^uc-
36 COURS i/anai.ysk.
tion faite,
* xdu = dx ^ i -^ «*, ou —
intégrant les deux membres , et désignant par c une constante arbitraire , il vient
log-= log(a-t- v'i 4-«0> d'où
a: = c (m -H y^î -h a') = ^ ( "^ "»- \/ » "^ "^^ On en tire successivement
et enfin
27. Troisième exemple. — On peut quelquefois, par une transformation simple , rendre homogène une équation qui ne Test pas. Soit, par exemple,
[ax H- by -\- m) dx •==. (px -h qf -h n] dy^
pour faire disparaître le^ termes indépendants de x et y 7 soit
a: = j:'-i-a, ^ = j'-4-6, d'où dx == dx' y dy =z dy ',
et déterminons a et 6 par les deux conditions
«a -t- ftê -h m z= o , /;« -f- ^6 + /î = o , qui donnent
nb — mq mp —
na
aq — bp aq — bp
et supposofas d'abord que l'on n'ait pas aq — bp := o.
L'équation proposée se trouvera ramenée à la suivante :
qui est homogène , et que Ton intégrera comme précédemment^ puis on remplacera x' e\. y' par x — a, y — 6. Mais cette transformation serait impossible si Ton avait aq — bp =10, Dans ce cas , Téquation proposée devient ,
en remplaçant q par sa valeur — »
[ax -h by) adx — pdy) = a [ndy — mdx).
On posera alors
dz — adx
ax -^ by z=z Zy d*où dy = 7 <i
et Télimination dej^ donnera
(an H- pz) dz
adx =r
an -f- inb + [b -+-/?)«'
les variables étant séparées, le problème est ramené à celui des quadratures.
Dans le cas général , on aurait encore pu rendre Téquation homogène, en posant
ax -^ by -\- m == t, px -\- qy -{- n =z u ,
d où l'on tire
qdt — bdit , adu — pdt
dx = 7— ? dy = J-- ,
aq — bp aq — bp
et l'équation proposée se trouve transformée dans la suivante , qui est homogène :
(pu H- qt) dt = (au -H bt) du,
28. Prenons pour application géométrique une question qui a beaucoup occupé les géomètres, à l'origine du calcul intégral , et qu'ils appelaient le problème des tra-
3S COURS d'analyse.
jectoir^. Il s'agit de trouver une courbe qui coupe, sous un angle donné, toutes celles qui sont renfermées dans une équation donnée
(1) F(a:, jr,fl)=:o,
dans laquelle le paramètre a peut prendre toutes les valeurs possibles.
Si l'on désigne par m la tangente de Tangle donné, par x^y les coordonnées d'un point quelconque du lieu, et par a l'angle que forme avec Taxe des x la tangente à la courbe donnée , on devra avoir
— ,~tang*
(2) ^ = XT
i^^unga
Or l'équation (i) donne
dF dj/
l'équation (2) deviendra donc
.« (dF dF dx'\ dF dy dF __
et comme on a en même temps
si Ton élimine a entre cette équation et Féquation (3), ou aura une équation entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu.
Examinons en particulier le cas où Téquation (i) est de la forme
(4) r" == rtj^^,
on aura
d¥ dV
et l'équation (3) deviendra
/ /yr«-« -+• apx^^ -^ \ — /ty*-'^,-f- apxf-^ = o,
et, éliminant a entre cette équation et la première, on obtient
(5) m{nx-^py-£^^nxJ-^py:=zo,
équation homogène qu'on intégrera sans difficulté.
1°. Supposons, par exemple , n = ^ == i , l'équation donnée (4) devient
et représente toutes les droites qui passent par l'origine. L'équation (5) devient
m [xdx -hydy) — xdy -\~ydx = o.
On reconnaît ici que le premier membre devient une diiférentielle exacte, en le divisant par x* +/'. On aura donc, en intégrant,
m îog [x"^ -{-y^y — arc tang- = c.
Si l'on passe à des coordonnées polaires , en posant
X z=z r cos ô, y =^r sin 9,
on trouve d'où
m logr = ô H- c,
4o COURS d' ANALYSE.
OU, en faisant e'" = c\
On obtient ainsi une infinité de spirales logarithmiques semblables, ayant le même point asymptote.
2?. Supposons m =00, ce qui donne des trajectoires orthogonales \ l'équation (5) se réduit à
nx -h px ~=zo, d*où Ton tire
Suivant que n et p seront de mêmes signes ou de signes contraires, cette équation donnera une infinité d'ellipses ou d'hyperboles semblables, et qui seront les seules courbes jouissant de la propriété de couper à angle droit toutes les paraboles ou les hyperboles renfermées dans l'équation
Si Ton a, de plus, w =p = i , la trajectoire a pour équation
ce qui donne un cercle quelconque ayant pour centre le point de concours des droites représentées par l'équation
donnée
y = ax.
Si n = — /; = I , les courbes données ont pour équation
^ = - 9 et sont toutes les hyperboles équilatères ayant
pour asymptotes les axes de coordonnées. Les trajectoires ont pour équation générale x* — y' = c, et sont toutes les hyperboles équilatères ayant pour asymptotes les bissectrices des angles des asymptotes des premières.
SECONHE PARTIE. ^l
29. Équation linéaire. — On peut encore, par un changement de variables, intégrer Téquation linéaire du premier ordre
dy -f- Hjrdx H- X,rfx = o.
Soit j^ = uz'yU et z étant des fonctions de x indéterminées , on aura dj = udz + zdu , et , en substituant ,
udz ■+• zdu -+- Huzdx -h X|<ir = o.
On peut déterminer d'abord u d'après la condition Jw+ X.udx = o, et il en résultera udz •+• ILidx = o. Or les variables se séparent dans l'avant - dernière , en
divisant par u ; ce qui donne \- Xcte = o.
En intégrant, il vient Ipgu + fHdx = o , la constante arbitraire étant comprise dans Tintégrale indéfinie.
On tire de là u = e""-' 5 substituant dans Féquation udz + Xifite = o, il vient
<-f ^"^dz H- X,dx = o, d'où z = ^fX.ef^^dx + C ,
C étant la constante arbitraire relative à la nouvelle intégrale, qui sera prise à partir de telle limite que l'on voudra. On aura ainsi
La constante arbitraire de f\dx disparait d'ellemême de cette expression , et il n'en reste qu'une , comme cela doit être. On retrouve ainsi l'intégrale déjà donnée par une autre méthode.
30. Équation de Bernoulli, — On peut ramener à Téquation linéaire la suivante, qui a été traitée d'abord par Jacques Bernoulli :
dy -h Xydx = X,^«+V/.r.
4 2 COURS D^NALYSR.
Si Ton pose
«=r"", d'où j=« ", et, par suite, <r = z " dzy
on trouve , en substituant dans la proposée et réduisant ,
dz — nXzdx -+- nlLxdx = o,
équation linéaire dont l'intégrale est , d'après la formule précédente,
La valeur dej^ s'en déduit immédiatement.
On peut arriver au même résultat par une autre transformation , déjà employée pour Téquation linéaire.
Soit jr=ssuz'^ Téquation proposée devient
udz H- zdu -f- ILuzdx = X,m"^' z'»+'d[r, et peut se partager dans les deux suivantes :
dz •+• Xzdx = o , r/a = Xitt""*"' z" dx; d'où l'on tire
l'intégrale f^dx étant indéfinie. On en déduit
-L=^/t^"/X^( rx,e-''J'^'^dx-Jhc\'
La constante introduite par f\dx disparait évidemment, de sorte qu'on peut prendre cette intégrale à partir d'une valeur quelconque 5 y ne contiendra donc que la seule constante C.
On peut quelquefois déterminer l'intégrale générale d'ime équation du premier ordre , dont on connaît une
SKCOINDK PAliTlK. 4^
intégrale particulière, au moyen d'une tranaformation très-simple , employée par Euler.
Soit, par exemple,
Cette équation a de plus que la précédente le terme Xgd^, mais Pexposant n+ i a la valeur particulière 2. Supposons que z soit une fonction de x qui satisfasse à cette ' équation sans renfermer de constante arbitraire , et posons j^ = z + u^ z^ étant une fonction inconnue de x. En ayant égard à Téquation
qui a lieu par hypothèse , il restera
rfw -f- (X — 22X1) «d[r = HiU^djc.
Cette équation étant renfermée dans celle qui vient d'être intégrée, on en tirera la valeur de u, avec une constante arbitraire , et l'on connaîtra , par suite , la valeur générale dey.
Si l'on n'avait pas w + i = 2 , la même substitution ferait encore disparaître IL^dx^ mais elle introduirait de nouvelles puissances de j^ qui ne permettraient plus d'intégrer la transformée.
Équations du premier ordre , dans lesquelles la dérivée entre à un degré supérieur au premier.
dY 31 . Si l'équation renferme ~- à des puissances supé-^
rieurea à la première, at qu'elle puisse être résolue par rapport à cette quantité , on aura ainsi plusieurs équations de la forme Vdx -^ Qdy = o que l'on tachera d'intégrer. Soient çp(x,y, c) = o, Çi (a;, j5c) = ô, etc., ces diverses intégrales dans lesquelles c désigne une constante arbi-
44 COUES D*ANALYSe.
traire^ toutes les solutions de Téquation proposée seront renfermées dans la suivante :
On pourra effectuer les calculs en considérant la constante c comme la même dans les différents facteurs \ car, comme ils ne doivent être égalés à zéro que séparément, on n'altère en rien les solutions en représentant les constantes par la même lettre.
Soit , par exemple ,
on aura les deux intégrales
^ = aa? H- c , y =. — ax -^ c\ çt rintégrale complète sera
{y — ax-\rc)\y -+• ax — c') = 0, OU , ce qui est plus simple , sans être moins général ,
[y — ax — c)[y '\'ax — c) = o, ou [y — cf — à^x""- =z o.
