PREMIÈRE PARTIE

par — dx. On trouvera ainsi

dx d.cosx = — ûnxdx^ d,mix = — ^j^'

d, coséco: = — cot^coséc xdx.

39. Différentielles des fonctions trigonométriques ini^erses. — Nous avons vu que, pour obtenir la dérivée d'une fonction j de x, il suffisait de diviser l'unité par la dérivée de la fonction inverse, dans laquelle on mettrait

y pour variable.

D'après cela, si Ton considère les fonctions arc sinx, arc tang x, arc séc ^, arc cos x, arc cot x, arc coséc x, qui ont respectivement pour inverses

sino:, tang^, séc^, cosj:, cot^, coséc x,

on trouvera :

dx d^

pour X = arc sin^, djr = -^-^ ^-— p '

dx pour X = arc tang x, dy = ces' ydxr=z - ^ -^ ->

dx dx

po«r7=arcsécx, dy=-^^^^^-^^^ = j^^=~^

dx dx pour y = arc cosj?, dy:=i — -^ = — / :'

dx pour y ■=. arc cot x, ^ = — sm' xdy = ^^ y

d«r dx

pour y =: arc cosécar, rfr = ; — = /

'^ ' -^ cotjcosecj xs^x^ — i

11 faut bien remarquer que les radicaux qui se sont introduits dans ces formules doivent être pris, tantôt avec le signe -H , tantôt avec le signe — -, on reconnaîtra celui

que Ton doit prendre, en considérant la ligne trigonométrique qui la introduit.

Les trois dernières différentielles sont égales aux trois premières , en faisant abstraction des signes qui peuvent être semblables ou dissemblables ; et cela tient à ce que la somme ou la différence des deux arcs correspondants est une constante.

Les signes que nous avons donnés aux radicaux dans ces formules se rapportent au cas où Tare est compris

entre o et —

Les différentielles des fonctions trigonométriques , ou fonctions circulaires ^ pourraient encore s'obtenir par des considérations géométriques fort simples , auxquelles nous ne nous arrêterons pas.

40. Le tableau suivant renferme les différentielles de toutes les fonctions simples. Nous y représentons par la lettre caractéristique L les logarithmes dans une base quelconque, et par 1 ceux qui se rapportent à la base de Néper. Dans les fonctions trigonométriques inverses , les

signes des radicaux supposent Parc compris entre o et - :

rf.La:= Le —

d,a* =za*\adx d,e' z=.e* dx

d.s\nxz=icosxdx dx

<£.tangx =

d, séc X = tang x séc xdx

d. cos x=. — sin xdx dx

d colx =

siii* X

d. coséc X = — cot T coséc xdx

d arc sin x =

<f.arc(angx = <2.arc sécx =

^.arccosx= —

J.arccotx = — rf. arc coséc x = —

x^x' — I dx

ry'x* — I

Il est bon d'observer que ces différentielles des fonc-