COS

Or, lorsqu'un arc tend vers zéro , le rapport du sinus à l'arc tend vers l'unité , ainsi que le rapport de la tangente à l'arc, ou du sinus à la tangente ; donc

. Le sm —

lim -- — = 1 :

la limite du second membre est donc coso:.

On a donc

-^ = cos X ;

on en déduit

df = cos xdx ,

d,%mx = co^xdx.

Soit maintenante^ = tango:*, on aura

tanfi;^ -h tane ^x tang Ajp ( i-h tang ""x)

Ar= — ^ 2 tang^= — ^— -^ ;: — V~'

•^ i—tangxUngAx ^ i — tang j: tang Ar

d'où

A/ ___ tangAx I + tang'x Ar àx I — tangxtangAx''

et passant aux limites ,

dy , I

-r- = I -f- tane'a: = sec'a:= — — -^

dx ^ QOS^X

et , par suite ,

dy '=i d . tang x =

ces' a;

On arriverait au même résultat en considérant que tangjr

smx

égale 9 et appliquant la règle pour différentier les

fractions.

Soit enfin j- = séc a: = ; on auia , par la règle des

fractions ,

d, cosjc sinarrir

dy '= = 3= tancx ^cxdx :

cos*x cos':c

ainsi dsécx = tangx sécxdx.

On y parviendra encore en observant que

ces [x -h ^x) ces X

et développant les calculs comme dans les cas précédents. 38. Différentielles de cos x, cotx, cosécx, — Considérons maintenant les mêmes fonctions du complément

jc de l'arc x.

Observons pour cela que l'on aura en général, en re-

gardant x comme une fonction de x^ et appliquant la

règle des fonctions de fonctions ,

Ainsi j pour les trois fonctions cos.r, cota:, cosécx, qui ne

sont autres que sin( x\ ? tangf x\ 5 séc ( xX-,

il faudra prendre les dérivées des fonctions respectives sino:, lang.r, sécjc, y changer x en x, puis multiplier