PREMIÈRE PARTIE

lions simples de x ne supposent nullement que x soit la variable indépendante. Elles correspondent bien à la diflférenlielle dx\ mais celle-ci peut dépendre de celle d'une variable quelconque dont x dépendrait , comme aussi elle peut être entièrement indépendante. Ainsi l'on aurait

«?.sin[F(:c)] = cos[F(.r)]^/.F (.r),....

C'est cette même considération qui nous a conduits à la dijSerentiation des fonctions de fonctions.

41 . Problème inverse de la différentiation, — Les formules précédentes permettent de résoudre dans quelques cas le problème inverse , qui consiste à remonter d'une dérivée ou d'une différentielle à la fonction qui l'a produite. Il suffit de se rappeler que deux fonctions qui ont la même différentielle ont pour différence une quantité dont la différentielle est nulle , et qui est , par conséquent , constante, c'est-à-dire indépendante des variables que l'on considère. On reconnaît ainsi que les fonctions les plus générales , ayant respectivement pour différentielles les expressions

dx . dx — dx

x^dxn^ — 9 a'dxy Qosxdx^ ^xnxdx, - ■. . ♦ » y

^ s/i — x^ sji — x^

sont, en désignant par C une quantité arbitraire indépendante de Xy

^BH-l ^X

+ C, Ijp-I-C, ^ hC, sinj?-|-C, cos.r-f-C,

arc sin a? 4- C , arc ces jr 4- C , . . . ;

et plus généralement, X désignant une fonction quelconque de x^ les fonctions les plus générales ayant pour

j^Q COURS u'analysk.

difi'érentielles les expressions suivantes :

X^ji/X, -.=-? a^dX, cosXrfX, sinXrfX,

rfX — rfX

y/i— X^ V^i— X sont les suivantes :

VW4-I /,X