Si Ton suppose une des limites inGnie, on aura

à considérer l'intégrale I F (x) dx ; et pour que l'inlé-

grale proposée soit finie, il faudra que celle-ci tende vers zéro avec e, quelque petit que soit fx: il faudra donc que

F ( = — ) 1 /x tende vers zéro quel que soit fx , K

étant ]>• I .

Soit F (a:) = -r— ;j — -—-\ P (^ — ) pourra être remplacé

par - (Kfxe)""'", et il faudra que (xe"*"*"* l fi tende vers

zéro, ce qui exige n ]>• m -h i ; et cela est suffisant.

On pourra ainsi , au moyen des intégrales définies singulières, reconnaître si les intégrales cherchées deviennent infinies ou indéterminées quand une valeur de x rend la fonction donnée infinie, ou quand une des limites est infinie.

274. On peut encore reconnaître si une intégrale est finie , lorsque sa dérivée devient infinie pour une valeur particulière de ^, en la comparant à une autre plus simple, pour laquelle il n'y ait pas d'incertitude, et telle que les deux dérivées aient un rapport fini pour cette valeur particulière : les deux intégrales seront en mt^me

PEEMIÈRE PABTIK.

temps finies ou infimes. Par exemple l p»

— seront dans ce cas. Le rapport des dérivées,

e'-Hx", devient i pour x = o : or la seconde est finie si m < 1 , et infinie si /n = i , ou w > i -, il en est donc de même de la première..

275. application des principes précédents à la re-. cherche d'intégrales définies, — En partant d'intégrales définies connues, et les différentiant ou intégrant par rapport à une constante , on obtient la valeur de nouvelles intégrales.

Ainsi

dûc Tt a

x^ -\- a a diftérentiant n fois par rapport à a, on obtient

Qo i.2.3.. .n 1.3.5. . .(a/z — i) d'où

X^ ^^ 1.3.5. ..(2/2 l) TT

(a:'-f-fl)-+' """ 2.4.6... ^ ï

la