PREMIÈRE PARTIE
Intégration des différentielles qui renferment plusieurs
variables indépendantes.
284. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les différentielles qui ne renferment qu'une seule variable et qui sont, par conséquent, de la forme ¥[x)dx\ nous allons examiner maintenant celles qui renferment plusieurs variables indépendantes, et nous proposer de déterminer, s'il est possible , la fonction de ces variables qui a pour différentielle totale l'expression donnée.
Considérons d'abord deux variables x, y^ et soit proposé d'intégrer l'expression
dans laquelle on a
On observera d'abord qu'il n'existe pas toujours une
fonction de x et y dont elle soit la différentielle : car, si
l'on désigne par u une pareille fonction, on devra avoir
Ti/r du T^T du d'^u d'^u .1 /. T
M = -7-9 JM = -;-; et comme -7—7- = -7—7-? il faudra
ax dy axdy dydx
qu'on ail — = — • Si donc les fonctions M , N ne satis-
font pas à cette identité, il n'existera aucune fonction de a: et j^ qui ait pour différentielle l'expression donnée. Mais nous allons voir que , si cette condition est remplie , la fonction cherchée existe nécessairement, et que sa détermination se ramène toujours à des quadratures.
On remarquera d'abord que cette fonction, devant avoir M pour dérivée partielle par rapport à x, doit être renfermée dans l'intégrale indéfinie de M<& par rapport à x, y étant considérée comme une constante. Elle est donc
Jx. ^r dy L dx
^82 COURS d\nalvsk.
comprise dans Texpression / Mdx -h V, V étant une
fonction arbitraire àe y.
Il reste à déterminer cette fonction de manière que la dérivée partielle par rapport ky soit N. Or cette dérivée est
dN
OU enfin
dV
Il est donc nécessaire et suffisant que Ton ait
dM ' C^
4'('^o,r) = o, ou y^ h ^Ji:o,x)djr-hC,
* Il existe donc nécessairement une fonction de x et y, dont Texpression donnée est la différentielle^ et la valeur la plus générale de cette fonction u est
à= j <f(xy x)dx-h I iK^«, r)^r-»-c,
C étant une constante arbitraire.
S85. U n^y a pas plus de difficulté dans le cas où le nombre des variables indépendantes est plus grand. Soit, par exemple ,
Mé/x -h NflÇr -+- P^« et
U faudra d'abord que M , N, P satisfassent aux conditions indispensables
rfM^ //M£P ç[N flfP dy dx dz dx dz df
dz
