PREMIÈRE PARTIE. a

Cela étant, la fonction cherchée sera nécessairement com-

prise dans la formule 1 Mûfo: -f- V, V étant une fonction

arbitraire de j^ et z , qu'il faut déterminer par la condition, que les dérivées partielles de l'expression précédente, par rapport à j et z , soient respectivement N et P. On aura donc

^ Ç'dVL dV r'^N, ^V ^, , , , d\

Jx, ^y dy J^^ dx dy ^^ ''^' ^ dy

Il est donc nécessaire et suffisant que la fonction V satisfasse aux deux conditions

dy dy

ce qui rentre dans la question précédente. On aura donc V=:/ ^(^cfX,z)dy-i-fx{^oyXo,z)dz'^C.

La fonction dont la différentielle est Texpression donnée , existe donc lorsque les trois conditions ci^dessus ont lieu; et, si on la désigne par Uy on aura

C étant une constante arbitraire.

Il est facile de voir que le cas de m variables se ramène de la même manière au cas de m — i , pourvu que les coefficients satisfassent aux conditions qui expriment que les coefficients différentiels du second ordre de la fonction cherchée, pris de toutes les manières possibles

284 COUaS U^ASALVSE.

par rapport à deux variables diflerenles , sont indëpendauts de Tordre des difierentiations. Donc le problème est toujours possible lorsque ces conditions sont remplies, et il est toujours ramené à de simples quadratures.

APPLICATIONS GÉOMtTBIQUES DU CALCUL INTÉGRAL.

286. Les méthodes exposées jusqu'ici ont pour objet de faire connaître une fonction , quand on a l'expression de sa différentielle ou de sa dérivée. On aura donc ramené immédiatement à ces méthodes la résolution dé toute question où il s'agira de déterminer une fonction d'une seule variable, lorsque l'on aura pu parvenir à connaître l'expression générale de sa différentielle. Or cette expression est beaucoup plus facile à déterminer que celle de la fonction elle-même ; car, en vertu du principe fondamental que nous avons démontré dans le Calcul différentiel, on peut négliger toute quantité infiniment petite par rapport à la différentielle que Ton veut calculer, et il n'en résulte aucune erreur soit dans la dérivée qui est la limite d'un rapport, soit dans F intégrale qui peut être considérée comme la limite d'une somme d'infiniment petits. Par ce moyen, on peut se débarrasser de la partie des accroissements des fonctions qui rend leur expression aussi difficile à former que celle des fonctions même^ et il suffit toujours de s'assurer que la partie qu'on néglige est infiniment petite par rapport à la différentielle, ou à l'accroissement lui-même. Dans ce peu de mots se trouve renfermée toute la métaphysique du calcul infinitésimal. Elle est, comme on le voit, bien simple et bien élémentaire, et toutes les théories que nous allons exposer offriront la reproduction constante de cette idée générale.