PREMIÈRE PARTIE

Quadrature des surfaces planes.

287 . L'aire comprise entre les deux ordonnées MP, NQ (fis- ^7)5 ^^^^^ ^^ courbe MN et Taxe des x est une fonction de Fabscisse extrême AQ == x dont l'accroissement relatif à l'accroissement QS de x est la figure NRSQ.

L'aire de cette figure serait aussi difficile à calculer que MNQP, puisque la difficulté provient de la partie curviligne du périmètre.

Mais , si l'on mène par le point N une parallèle NK a l'axe des x, la partie NRK de la figure pourra être supprimée comme étant infiniment petite par rapport à NRSQ. En effet, si l'on mène RN' parallèle à QS, NN'RK sera plus grand que NRK, et son rapport avec N'KSQ, qui est plus petit que NRSQ, tend vers zéro à mesure que QS diminue, puisque ce rapport est le même que celui de NN' à NQ. Par ce moyen , on a donc débarrassé l'accroissement de l'aire, de la partie qui en rendait le calcul difficile 5 et la limite de son rapport à l'accroissement de l'abscisse n'est nullement altérée. Le calcul de cette limite , ou de la dérivée de l'aire , est donc deveiiu plus simple, sans rien perdre de sa rigueur.

Si les axes des coordonnées sont rectangulaires, la figure NKSQ est égale à NQ x QS, et la limite de son rapport avec QS est NQ ou j, La dérivée de l'aire est doncj^, et sa différentielle j^ûfjc.

Si les axes font entre eux un angle 9 , l'expression de la différentielle sera y sinOdx.

L'aire comprise entre les deux ordonnées relatives aux abscisses j?o et x peut donc être représentée , dans le pre-

mier cas

, par I fdXj et, dans le second, par sinô l jdx.

286 COURS dVnaLTSR.

L'équation de la courbe donne y en fonction de a?, et la quadrature de la surface en question est ramenée à uùe intégration. C'est pour cela que l'on désigne souvent par le mot quadrature l'opération du calcul intégral par laquelle on remonte de la différentielle d*une fonction à une seule variable, à cette fonction même.

Si Taire à calculer était comprise entre deux ordonnées et deux arcs de courbe, l'expression de sa différentielle serait (Y — y) dx^ en désignant par Y el y les fonctions de x qui représentent l'ordonnée de chacune des deux courbes. Si la nature de Tune ou de Tautre de ces courbes changeait dans Tintervalle compris entre les limites , il faudrait partager cet intervalle en plusieurs autres , dont les limites seraient les diverses valeurs de x où s^opéraient ces changements.

Si la courbe est donnée par une équation entre des coordonnées polaires Q et r, l'aire que l'on cherche à évaluer est celle de la figure comprise entre deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe. Sa différentielle est, commie

nous l'avons déjà vu , r* — Donc l'aire comprise entre les

deux rayons correspondants aux angles 60 9 ^ aura pour

expression^ I r^dB^ r désignant la fonction de 6 tirée

de l'équation de la courbe.

Si la surface à évaluer était comprise entre deux rayons vecteurs et deux courbes, sa différentielle serait

^ —dO^ r et r' désignant les rayons vecteurs des

deux courbes, relatifs à une même valeur de 9^ l'aire cher-

ret r'

chée serait donc exprimée par j i (r* — r^*) dO

Je.

étant des fonctions connues de 6 , déduites des équations des deux courbes.