PREMIÈRE PARTIE
288. Paraboles, — Çroposons-nous d'abord de calculer Taire des paraboles renfermées dans l'équation générale
m et n étant positifs \ on aura
I n I r-Hi
Çfdx^p"' rx"'dx=zp"'^ — hc.
Si Ton prend l'aire à partir de x == o , on aura C = o , et l'aire terminée à l'ordonnée relative à une valeur quelconque de X aura pour expression
I n mp^x^ mxy
m "{- n m -f- fi
La partie du rectangle xy qui reste , après avoir retran-
ché celle-ci, est — =^^; donc l'arc de la courbe divise le
rectangle ocy dans le rapport constant de m * n.
Réciproquement, la courbe qui jouirait de cette propriété ne saurait avoir une équation d'une autre forme que la proposée. En effet , si l'on désigne par j l'ordonnée inconnue de cette courbe, on devra avoir
fydx : xy — fydx :: m : n, d*où (m H- n)fydx = mxy,
ef, en différentiant ,
mdy ndx nydx = mxdy, d ou -■^— = *,
par suite,
en désignant par 1 C une constante arbitraire. Cette dernière équation donne j*"* = Cjc"; en donnant toutes les
288 COURS D*AirALTSR.
valeurs possibles à la constante C, on aura toutes les courbes qui jouissent de la propriété demandée.
289. Hyperboles. — Considérons maintenant l'équation générale y'^x" = a des hyperboles qui ont pour asymptotes les axes des coordonnées \ on aura
hl
iw m
Çydx — a'^Çx ^dx^"*—^ hC.
Soit d'abord /i <^ m , et supposons que l'aire commence à l'axe des y\ on aura C = o, et l'aire aura pour expression
ma"*x "' mxY
f ou
On voit que sa valeur est finie, quoiqu'elle s'étende indéfiniment dans le sens des /, puisque l'axe des y* est asymptote de la courbe. Cette valeur est plus grande que le rectangle xy\ si l'on retranche ce rectangle, il
reste —'i et les deux aires sont encore dans le rapport
constant de m I n.
Réciproquement, en partant de cette propriété, on retrouvera une équation de même forme que la proposée. En effet , on aura
Jydx : Jydx — xy \\ m\n^ d'où {m — n)Jydx = mxy^
et, par suite,
— nydx •==. mxdy\
donc
mdy nd^ mW— »l^i ïr
C étant une constante arbitraire. On en déduit immédia-
P&KMIÈIIK PARTIE. ^Bq
lement j^'" = Cjc""" ou j'":c" = C, équation de même forme que la proposée.
-hi
L'àire devient infinie avec x.
Ainsi Taire comptée à partir d'une ordonnée arbitraire, et prolongée indéfiniment vers Tune des deux asymptotes , est finie ou infinie , suivant que la coordonnée comptée sur cette asymptote a le plus grand ou le plus petit exposant dans l'équation.
Si Ton avait tz > w , on arriverait à la même conclusion. Si l'on avait m = n, l'équation serait de la forme xy = p*^ et repfésenterait une hyperbole équilatère, puisque les axes sont rectangulaires. On aurait alors
Si Ton voulait que Taire commençât à Taxe des^, la constante C serait infinie; ce qui fait voir que Taire comprise entre une ordonnée quelconque et Taxe des y est infinie.
Si on la fait commencer à T abscisse Xq , on aura
et I aire aura pour expression
Si Ton suppose Xn=p^ Taire commencera à Tordonnée menée par le sommet de l'hyperbole 5 et , si Ton prend p pour unité , son expression sera 1 x. C'est cette propriété qui a fait donner aux logarithmes népériens le nom de logarithmes hyperboliques,
2* édit. ig
