Hyperbole, — Soit maintenant l'équation de l'hyperbole

«'r* — è*jF'= — «'ô% ou Y^=-slx^ — «s

on aura

I ydx == — Idx ^ x^ — a^.

Et, si Ton suit la même marche que pour Tellipse^ on trouvera

' , bx J x^ — û' ab./ I V

ydx=z "^ IC^^-hV X' — aO^-C;

si l'on veut faire commencer l'aire au sommet, son expression devra être nulle pout» x = a , d'où C = — \a^ et Paire aura pour valeur

bxJ x^ — a^ ab,x-\-'Jx^ — a'

2ta n a

Le premier terme étant égal à — ? on en conclut que

ab ^ x-^Jx^ — a^ 17 • 1 .

— 1 1 est 1 expression du secteur compris

entre l'axe trans verse, l'arc de l'hyperbole et le rayou mené du centre à l'extrémité de cet arc.

292. Çycloïde. — Considérons maintenant la cycloïde rapportée à son sommet^ (fiS* ^^)'^ ^^^ équation différentieUe sera

ami coums n axaltse.

aa étant le diamètre AB du rercle générateur. L'aire AMP

a pour expression

elle est donc identique avec Taire AQN relativement au cercle générateur.

L'aire totale ADK est donc égale à la moitié de ceUe du cercle , ainsi que Taire symétrique CHA ; et ^ comme le rectangle CHKDC est égal à 4^«') Taire CADC sera égale à 3na*^ ou au triple du cercle générateur.

Quant à l'expression de T intégrale

djr ^ !iax — x^y

on observera qu'elle est identique avec

elle rentre donc dans celle que nous avons calculée dans le cas de Tellipse , en y changeant x en y — a. Ainsi Ton aura

dxsl^ax—x=^-^ -^ — '^ — h— arcsin*^^ hC

Si Ton prend l'intégrale à partir de j^ = o, on aura

et, si Ton prend pour seconde limite j = 2a, la valeur de Taire sera

comme nous l'avions déjà reconnu.

PRSMIÈRK PARTIF. 293