Spirale logarithmique, — L'équation de cette

courbe est, en coordonnées polaires, P=Ae''^5 Taire comprise entre deux rayons vecteurs correspondants aux angles do et aura donc pour expression

OU

r' — rl

en désignant par /q et /* les valeurs extrêmes du rayon vecteur.

Si l'on part de /'o = o , c'est-à-dire si Ton cherche la limite de l'aire comprise entre le rayon fixe r et un autre rayon dont l'extrémité tend vers le pôle, tandis que sa direction tourne indéfiniment autour de ce point asymp-

tote, on trouvera simplement j-« Cette aire croit donc

comme le carré du rayon vecteur.

Rectification des. courbes.

294. Nous avons démontré , dans le Calcul différentiel ,' que la différentielle d'un arc de courbe plane ou à double

courbure est , dans le premier cas , ^dx ' -}- ^jf^ ', et , dans

le second, \/dx* -h rf^* "♦" ^^*9 ^^ supposant les axes rectangulaires. Lorsque les axes font entre eux des angles quelconques, on sait quels termes il faut ajouter sous le radical ^ mais on suppose ordinairement ces angles droits. L'arc dont les extrémités correspondent aux abscisses Xq et X aura donc pour expression, dans le premier cas.

y/ri.t'-^djr

2g^ coua& dVkalyse.

et, dans le second,

^dx^-hdy^-hrlz^-

Si la courbe plane était rapportée à des coordonnées polaires , nous avons vu que la différentielle de sa longueur aurait pour expression

et sa longueur serait, par conséquent, exprimée par

Qq et 9 étant des valeurs extrêmes de l'angle 6.

295. Parabole. — Soit d'abord la parabole ayant pour équation

jr^ = 2px y d'où jr^X ^^ P^'^ > ^^ ^= *--^^ '

on aura

Je.

\/dx^-hdx^ = dri/ 1 -+-—,'

La longueur de l'arc dont les extrémités correspondent a y Q et Y aura donc pour expression

Si Ton veut faire commencer Tare au sommet , on aura et Fexpression de cet arc sera

y^r'-hp' ^ p , (y-f h'-^p')

ip 2. p

29&. Ellipse, — L'équation de Tellipse

donne

PRI&MIKftE