Hyperbole. — L'équation de l'hyperbole
donne
dx
== — -, dszrz s^dx-'-^dy^ = dx\ —-
en posant
sj a"^ -f- 6' z=zae.
Les valeurs de x étant toujours plus grandes que a , on
posera x = ? et i on aura
* cosy
ds = ae
cos
Là/, ^
s = ae
Si Ton développe en série le radical , et qu'on intègre h partir de y = o qui correspond à a: == a, on aura
X? dç r i cos'y ncos*y i.i.3... (am— 3) coB»"'y -1
d'où
tango ^ / dfl'-y — r^-^—r? — r^H-.-H r^ • —^ -i-i-...I.
Lorsque a: croît indéfiniment, 9 tend vers -, et 5 croît
sans limite. Mais , si Ton cherche la différence entre l'arc et la partie de l'asymptote comprise entre le centre et le point correspondant à l'abscisse de l'extrémité de l'arc, cette différence tend vers une limite dont il est facile d'obtenir l'expression. En effet, cette partie de l'asymp-
PRKMIERK PARTIK. 297
ae
tote est éealc à — — : et , si l'on en retranche 5, il reste ^ cos^ '
cosp 2e ej^ ^' L î-îe' 2.4'^ * J
Si l'on passe à la limite ç= -9" il vient
TzaV i/i i\' i/i,3 I \=^ 1/1.3.5 I \^ 1
298. Cycloïde, — L'équation de la cycloïde rapportée à son sommet est
ax y 2fl — jr -
d'où
donc
.V = 2/ ' y/Etf -f- C -, et si l'on fait commencer l'arc au sommet, on aura
C = o 5 et s =: 2. sjiay.
Si Ton fait y ^=1 ia^ on aura la moitié du périmètre de la cycloïde, qui sera égale à 4«- Pour une valeur quelconque de j^, s est double de la longueur de la tangente.
C'est à quoi l'on était déjà parvenu par la théorie des développées.
299. Spirale logarithmique, — L'équation polaire de cette courbe est
r =r A^ ^^ , d'où dr = kac ''^rfG ; fh — s/d?'-\-r'df' = Adù s/c'^''^{i -+-«') = A V ^^^^ <.'"^ r/9.
39B COUBS d' ANALYSE.
Donc
Si l'arc commence au pôle, qui est asymptote de la courbe, on aura
C = o et .V = r
Cette expression est celle de la longueur de la tangente menée à Textrémité de l'arc , et terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le pôle. Ce résultat avait déjà été obtenu par la théorie des développées.
300. Supposons maintenant les points déterminés par trois coordonnées polaires. Soient B l'angle formé par le rayon vecteur r avec l'axe des ^ , et (p Tangle formé par s.a projection sur le plan XY avec l'axe des x. Toute courbe sera déterminée par deux équations entre r, ^p, 0. Les équations qui déterminent généralement x^ /, z en fonction de r, , ^j; , feront connaître dx^ dy^ dz , au moyen de r, 0, ^p, dr^ dQ^ d^\ et en les substituant dans
\/t/r' -\' dj^ -\- dz^ ^ on aura l'expression de la différentielle de l'arc en coordonnées polaires. Mais on peut y arriver directement de la manière suivante :
Si l'on conçoit une sphère décrite du pôle comme centre avec le rayon r, elle coupe le rayon r -h dr en un point qui , joint à l'extrémité de r par un arc de grand cercle, détermine un triangle rectangle infiniment petit, dont ds est l'hypoténuse et dr un des côtés de l'angle droit. Pour déterminer le troisième côté, ou mènera par l'axe des z deux plans contenant respectivement les deux rayons , et qui comprendront entre eux l'angle d^ \ puis , par l'une des extrémités de ce troisième côté, on mènera un plan parallèle à XY : le côté cherché sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle tracé sur la sphère, et dont
