PREMIÈRE PARTIE
les deux côtés de l'angle droit seront respectivement rsinOd^ et rdO. On aura donc
et pour avoir s , il suffira d'exprimer deux des variables en fonction de la troisième d'après les équations de la courbe, et d'intégrer entre les limites demandées.
Cuhalure des solides de révolution.
301 . Considérons maintenant le solide formé par la révolution d'une surface plane autour d'un axe situé dans son plan, et que nous prendrons pour axe des x. L'équation de la courbe qui termine cette surface est donnée entre deux coordonnées x, y^ situées dans le plan YAX, où se trouve primitivement cette courbe. Cela posé, nous nous proposons d'évaluer le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe de rotation, et qui est engendré par la partie MNM'N' de la surface (fig* 19), comprise entre les deux ordonnées arbitraires MP, NQ. Pour cela, nous chercherons l'expression de la diflférentielle de ce volume, que l'on peut considérer comme l'accroissement infiniment petit que prend le volume V lorsque la variable x dont il est fonction prend l'accroissèment dx. Soit QR = dx^ dY sera considéré comme le volume engendré parla surface iSRN'K/. Mais, si par les points N 5 N' on mène des parallèles à AX , on remplacera NKN'K' par un rectangle qui engendrera un volume, dont le rapport avec l'accroissement exact du volume aura pour limite l'unité*, ce que l'on démontre comme pour les aires. Mais le volume qu'engendre ce rectangle a pour mesure tt (y* — j") dx^ y et j' étant les ordonnées NQ, N'Q-, donc le volume V, compris entre deux plans correspondants aux abscisses x©, »^, a pour exprès-
3oo COURS dVnalysp..
sion
V=:7r f {y''-y")dx.
Si Ton veut avoir le volume total , il faudra prendre pour limites de cette intégrale la plus petite et la plus grande des valeurs des x auxquelles correspondent des points de la surface donnée.
302. Ellipsoïde. — Supposons que la surface génératrice soit celle d'une ellipse tournant autour d'un de ses axes, son équation sera
et Ton aura
2ûx — x^)ax = — I /ïx ' ^r- I 4- C
Si le volume doit commencer au sommet, on a
nb^ / , x'
C=o et V = -- [ax^
On aura le volume entier de l'ellipsoïde en faisant j:=2a, ce qui donne
il devient ^7ra' si i = a, ce qui réduit l'ellipsoïde à la
sphère dont le rayon est a.
Il est à remarquer que la différentielle rfV, ne renfermant pas de radicaux , ne devient pas imaginaire en dehors des limites o et -f- a^^ elle ne fait que changer de signe , et est égale , au signe près , à celle du volume engendré par l'hyperbole, dont l'équation serait
r' = — {x" — lax).
PRKMI^.RK PARTIE. 3oi
11 résulte de là que, si dans Fexpression de V on donne à la seconde limite x une valeur négative , on obtiendra le volume de Fhyperboloïde , depuis cette valeur de x jusqu'à X = o'^ que, si l'on donne à x une valeur positive plus petite que aa, on aura le volume de IVUipsoïde depuis x = o jusqu'à cette seconde limite-, et qu'enfin, si l'on donne à x une valeur positive plus grande que 2a, on obtiendra le volume entier de l'ellipsoïde , diminuée du volume de l'hyperboloïde compris entre x= 2a et la seconde limite.
Donc , si l'on veut trouver la valeur qu'il convient de donner à x pour que V soit égal à un volume donné , ou que l'ellipsoïde soit partagé dans un rapport donné , on trouvera trois valeurs réelles : l'une négative , l'autre positive et plus petite que 2a , et la troisième positive et plus grande que 2a. Mais la seconde seule satisfait à la condition de partager Tell îpsoïde dans le rapport demandé, ou de manière à ce que V ait une valeur donnée , pourvu
qu'elle soit moindre que ^na^h,
303. Tore, — Ce solide est engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite située dans son plan. Soit l'équation de ce cercle
ou
jr = 6 ± s/R' — ix — o^)\
La diftérentielle du volume est {Jig. 20)
n{mV—'M'p)dXy
ou
ou encore
302 COURS n^NAI.YSE
Or MM^dx est la difTérenticUe de Taire du cercle générateur. Donc le volume engendré par la partie du cercle comprise entre deux ordonnées quelconques est égal à cette aire multipliée par 27r6 , c'est-à-dire par la circonférence décrite par le centre du cercle.
Si Ton veut avoir le volume entier du solide, il faut multiplier Faire du cercle par la circonférence décrite par son centre, ce qui donne air^oR*.
On trouverait le même résultat en intégrant la différentielle Jx v/R* — (x-^a)^ que nous avons déjà trouvée dans la quadrature de l'ellipse et du cercle.
Quadrature des surfaces de révolution,
304. On appelle aire d'une surface courbe la limite de l'aire d'un polyèdre inscrit ou circonscrit à cette surface , et dont les faces infiniment petites ont pour limites de leurs directions les plans tangents aux différents po:nts de cette surface.
Il résulte de là qu'on peut, au lieu des éléments plans qui composent la surface du polyèdre, considérer des surfaces courbes dont les plans tangents aient pour limites ceux de la surface proposée. On pourra donc considérer la surface engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, comme la limite de la somme des troncs de cônes infiniment petits , engendrés par les côtés d'un polygone inscrit dans cette courbe. Si l'on désigne par j- et 7 -h rf^ les ordonnées des deux points extrêmes d*un quelconque de ces côtés ayant pour longueur ds^ la surface du tronc de cône qu'il engendre aura pour mesure
23r I / -f J ds^ ou ^itydsy
en négligeant l'infiniment petit du second ordre.
PRKMIERË PARTIK. 3o3
L'aire engendrée par Tare dont les points extrêmes ont pour abscisses Xq et x aura donc pour expression
I jr^Sy ou 27r / y\/dx'^-i-d/\
305. Ellipsoïde. — Supposons que Tellipse dont l'équation est
tourne autour de Taxe des x^ elle engendrera une surface dont la différentielle sera
2icb / —
—^dxsl a' — (/?' — b'')x\
Supposons d'abord a^ b et posons
a^ — b^ = a^e^; Taire , commençant à x = o , aura pour expression
%T:be r"" , a-" , izbeV ^ /«' , «» , ex \
I dxK -- — art:^ — •^1/-:, — -^ H — rarcsm— .
^ J, y ^^ a yyj e' e^ a ]
Il ne faut pas ajouter de constante, puisque Taire est nulle pour j: = o. On aura la moitié de la surface de l'ellipsoïde en faisant a: = a , ce qui donne , pour la surface entière ,
, ., 7.Tzba
iTzb ^ H arc sm e,
Si e = o , a= b^ et Tellipsoïde devient une sphère y
comme d'ailleurs tend vers Tunité à mesure que
e tend vers zéro , on aura /^na* paur la surface de la sphère dont le rayon est a.
Supposons 5 en second lieu , a<^b et posons
3o4 COUaS u' ANALYSE.
l'expression de l'aire, à partir de .r=o, sera
Si Ton fait x = a^ on aura la moitié de la surface de l'ellipsoïde , et la surface entière aura pour expression
^,^ V^^TIT^T^a^ ?!I^l ^.?±y^!±^
On retrouve encore la surface de la sphère , quand on suppose e = o. En effet, la première partie devient îTia* -,
pour obtenir la seconde, on développera \/a*4-i'e* en série, ce qui est permis, puisque i*e* tendant vers zéro est plus petit que a", et l'on trouvera encore 27îa*; ce qui donnera 4'^a^ pour l'aire totale de la sphère.
306. Surface du tore. — Supposons qu'on fasse tourner autour de l'axe des x le cercle dont l'équation est
la partie supérieure engendrera une surface dont la différentielle sera
STT [ê 4- v/ R* — (J7 — a)»] (is,
La ditférentielle de Taire engendrée par la partie inférieure sera
Si on les suppose comprises entre les deux mêmes plans perpendiculaires à l'axe, x et rJs seront les mêmes, et la somme des deux différentielles sera 4^6^^, dont l'intégrale est 4'^ës -4- C.
