PREMIÈRE PARTIE. 3o

On aura la surface entière en prenant s égal à la deraicirconférence ttR, et C = o ^ ce qui donnera

4îr'6R, ou 27rR27r6.

La surface du solide entier est donc égale au produit de la circonférence génératrice par la circonférence décrite par son centre.

, On peut calculer séparément la surface engendréq par la partie supérieure, et par la partie^ inférieure de la circonférence. En effet, la première est

Pour avoir la partie supérieure tout entière , il faut prendre pour X les limites a — R , a H~ R , et donner à 5 la valeur ttR ] ce qui donne

27r»6R + 47rR'.

Dans le calcul de la partie inférieure , il n'y aura que le second terme à changer de signe , et Ton trouvera

Leur somme est ^n^ëR^ comme nous l'avions déjà trouvé. Leur différence est SttR'^ ou le double de la surface de la sphère dont le rayon est R ; il est remarquable que cette différence soit indépendante de la distance du cercle à l'axe de rotation.

Volume des corps terminés par des surfaces

quelconques,

307. Si Ton partage un corps en éléments infiniment petits par des plans perpendiculaires à l'un des axes des coordonnées rectangulaires, on pourra substituer à ces 2* édit, 20

3o6 couEs d'analyse.

éléments des cylindres ayant pouf bases les sections faites par ces plans , et pour hauteurs les distances de ces mêmes plans , parce que la limite du rapport de ces cylindres aux éléments du corps est l'unité.

Donc , si Ton peut obtenir en fonction de x l'expression de l'aire de la section faite dans le corps par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des x^ la différentielle du volume sera F(x)^2x, en désignant par F {pc) l'aire de la section -, et le volume du corps compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe des a:, et correspondants aux abscisses Xo, :r, aura pour expression i F(jr)ctr. Le problème sera donc ramené à l'in-

tégration d>'une fonction connue d'une seule variable. Si l'on ne peut exprimer immédiatement l'aire de la section , on en obtiendra la valeur au moyen d'une première intégration. Représentons par z et z' les ordonnées de la partie supérieure et de la partie inférieure de la surface. Ce sont des fonctions données de x et j^, qui pourront être de nature différente. L'aire de la section correspondante à une valeur quelconque de x aura pour expression J{^z — s')£fy, y variant seul et x restant constant dans les fonctions zeXz' . Les limites de cette intégrale seront les valeurs de y correspondantes aux points extrêmes de la section; ces points seront, en général, ceux où la tangente À la courbe est parallèle à l'axe des z \ et si l'on considère l'ensemble de toutes les sections , ces points se projettent sur le plan XY suivant la trace du cylindre circonscrit au corps, et ayamt ses arêtes parallèles à Taxe des z. Ces valeurs de j* qui sont les limites de cette première intégrale sont donc des fonctions connues de x, et , par conséquent >, J{z — ^^)dy sera une fonction de x^ que nous supposerons que l'on puisse former, et que nous représenterons par F (or). La question est alors ramenée

PRKMIËRK PARTIE. Soy

au premier cas, et il suffira de calculer fF{x)dxj entre les deux limites données pour .r. Ces deux intégrations successives s'expriment de la manière suivante :

r [z — z') djr\

y-Q et Y désignent les deux fonctions do x qui expriment les ordonnées de la trace sur XY, du cylindre circonscrit au solide, et ayant ses arêtes parallèles à l'axe des -?.

Ce calcul n'exige donc que deux intégrations de fonctions d'une seule variable.

On peut remarqtier que ce procédé revient à calculer la somme des expressions de la forme [z — z') dydx , quand on donne à a: etj^ toutes les valeurs comprises dans la projection du solide sur XY et variant par intervalles infiniment petits dx^ dj. Cette expression est la mesure du parallélipipède ayant pour base dxdy et • pour hauteur z — ^'5 et ce volume peut être sikbstitué à l'élément du solide qui est compris entre les quatre faces latérales de ce parallélipipède 5 parce que la limite de leur rapport est l'unité. La somme de ces éléments compris entre les deux plans dont la distance est dx^ sera exprimée par

dx j {z — z^)djr,

et la somme de ces dernières expressions, relatives à toutes les valeurs de dx^ sera la somme de tous les éléments [z — z^) dxdj du solide.

308. Déterminons maintenant l'équation de la trace du cylindre circonscrit au corps et parallèle à Taxe des z.

Soit F (x^y^ z) = o l'équation de la surface du corps -, le plan tangent au point (x', /', z^) aura pour équation

3o8 cocRS d'analyse.

En un point quelconque de la courbe de contact du cylindre et de la surface donnée , le plan tangent est parallèle

à l'axe des -z , et , par conséquent , -j-, = 05 les équations de cette courbe seront donc

Si on élimine z entre ces équations , on aura sa projection sur XY, qui est la courbe demandée. Supposons que son équation soit (f [^ty) =0, les valeurs de y qu'on en tirera seront les limites de l'intégrale prise par rapport kj. Quant aux limites a:©, x^ ce sont deux valeurs arbitraires. Si l'on veut avoir le volume entier du corps, ces limites correspondront aux points extrêmes de la trace du cylindre, et s'obtiendront en cherchant les points de cette courbe où la tangente est parallèle à l'axe des^, ou encore les points de la surface où le plan tangent est perpendiculaire à l'axe des x \ ils seront déterminés par les trois équations,

, ; dV dY

309. Si l'on avait pour objet de trouver le volume du corps, qui se trouve renfermé dans l'intérieur du cylindre , ayant ses arêtes parallèles à l'axe des z et une base donnée par son équation sur le plan XY, les limites de l'intégration par rapport à y seraient les fonctions de x que l'on trouverait en résolvant cette équation par rapport h y,

310. Ellipsoïde, — L'équation de l'ellipsoïde rapporté à ses axes est

La section par un plan perpendiculaire à Taxe des x

P&EMiÈaE PARTIS. 30Q

est une ellipse ayant pour équation

X désignant la distance de ce plan à l'origine , constante pour une même section , et variable d'une section à une autre. On peut calculer l'aire de la section au moyen de la formule que nous avons donnée pour la quadrature de l'ellipse.

Les demi-axes étant, dans ce cas, l'aire de la section sera

'Jtbc ( I *: , ,

ce sera la valeur de l'intégrale

j\z-z')dr.

Reste donc à intégrer

Tzhc I il ) r/x,

ce qui donne

/ jfj 3 —3

nbc [ X — Xq -4- —-2-

Si l'on fait Xo = — a^ x=^a^ on aura le volume entier de l'ellipsoïde , et son -expression sera \ itabc.

On voit que le volume de rellipsoïde est les deux tiers du cylindre droit circonscrit, ayant ses arêtes parallèles à l'un quelconque des axes.

3H . Si les axes ne sont pas rectangulaires , les calculs

3io COURS ii'asaltsf.

ne diliéreroul que par des facteurs constants. Soient / l'angle de Taxe (Jes z avec l'axe des y, et fx Tangle de Taxe des j: avec le plan YZ. La section faite par un plan parallèle à YZ aura pour expression

I (z — r')</rsin a,

et le volume compris entre ce plan et le plan infiniment voisin sera

in ptr/x / (^2 — z ' ) ^ sin A.

Le volume cherché sera donc exprimé par

siripsio). l dx \ '^z — 2')<(r-

. dx '^

Dans le cas de rellipsoïde rapporté à des diamètres conjugués 2a', aè', ac', on trouvera \ na'b'c* sinfx sini.

Cette expression devant être égale à | itabc , il en résulte a'i'c' si njtxsin À = ûic, ce qui montre que le parallélipipède construit sur les diamètres conjugués est constant. On voit encore que le volume de Fellipsoïde est les deux tiers de celui du cylindre circonscrit , ayant ses arêtes parallèles à un diamètre quelconque, et ses bases parallèles au plan conjugué de ce diamètre. Ce qui prouve que tous les cylindres circonscrits de cette manière à Tellipsoïde sont équivalents.

312. Si Téquation de la surface qui termine le corps est donnée en coordonnées polaires r, 0, ^|^, il est convenable d'exprimer la différentielle du volume dans le- même système. Pour cela on concevra une sphère décrite du pôle comme centre avec l'unité pour rayon ; et Ton partagera sa surface par des grands cercles infiniment rapprochés dont les plans passent par Taxe AZ , et par des

PHEMIÈBE PAATIE. 3ll

petits cercles dont les plans soient parallèles à XY, et k des distances infiniment petites les uns des autres. L'expression générale des quadrilatères qui composeront la surface de la sphère sera sin Qd&di^. On concevra ensuite un c6ne ayant son sommet au pôle et ce quadrilatère pour base , et l'on cherchera le volume du corps , qui se trouve compris dans ce c6ne indéfini. La partie de ce volume comprise entre deux sphères ayant pour rayon r et r-\-dr^ aura pour mesure

Si donc on intègre cette expression par rapport à r entre les deux valeurs /> et r, relatives aux deux surfaces qui terminent le corps, on aura le volume du corps compris dans le cône que l'on a considéré. Sa valeur est

/' et To sont des fonctions connues de d et (|^. Si maintenant on intègre par rapport à 6 entre les deux valeurs relatives aux limites du corps, et qui sont des fonctions connues de ^p , on aura

y Je.

Le résultat de cette intégration sera une fonction de ^ , que Ton intégrera entre les deux valeurs relatives aux plans entre lesquels le corps est renfermé.

Si le pôle est dans l'intérieur du corps , les limites de Q sont o et TT ^ celles de ^ sont o et 27t ^ et la première limite de jo est zéro. Le volume est alors exprimé par

Jo Jo

3i2 couns d'analyse.

Quadrature des surfaces courbes quelconques,

313. D'après ce que nous avons dit sur le sens qu'il fallait attacher à Faire des surfaces courbes, si nous diyi> sons une surface quelconque par des plans infiniment voisins, perpendiculaires, les uns .à l'axe des or, les autres à l'axe des y , chacun des quadrilatères qui composeront la surface , et dont la projection sur XY sera dxdy^ pourra être remplacé par la partie du plan tangent en un quelconque des points de la surface de ce quadrilatère , qui aura la même projection dxdy.

Nous supposerons que ce plan tangent soit mené au point de la surface qui se projette en un des sommets du quadrilatère dxdy^ et nous choisirons celui dont \x est le plus petit , ainsi que ly ; de sorte que ses coordonnées étant x, j", celles du sommet opposé soient x -h dx^ y -^ dy. Cela posé^ l'aire d'une surface plane étant égale à sa projection orthogonale , divisée par le cosinus de l'angle de son plan avec le plan de projection , on aura , en désignant par s Taire de la surface courbe

— î ~9 ou/7, y étant les dérivées partielles de la fonction

de jc et j^ qui représente l'ordonnée de la surface.

Ainsi, pour obtenir la surface qui se projettera sur le plan XY dans l'intérieur d'une courbe, donnée par l'équation (p(j:,^) = o, on cherchera d'abord la partie comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe des a:, et distants l'un de l'autre de la quantité infiniment petite dx. Pour cela on intégrera par rapport à y^ en considérant x

comme constant, l'expression dxdy sj i -^ p'^ -{- q^ \ les