Deuxième théorème. — Une série dont le terme

général estUn (^st convergente lorsque u^ tend vers une

limite k plus petite que l'unité, quand n augmente indéfiniment. Elle est dis^ergente lorsque la limite k est plus grande que l'unité.

Supposons d'abord A < i , et soit a un nombre quel-

PREMIÈRK PARTIE. 827

conque compris entre fc et i ^ d'après l'hypothèse,, k^ finira par être constamment moindre que ce , depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini. On aura alors les inégalités suivantes :

d'où

Donc, à partir d'une valeur convenable de «, tous les termes de la série sont au-dessous de ceux de la progression géométrique décroissante

donc la série proposée a une limite, et Ton aura une limite de l'erreur commise en s'arrêtant à m„i en prenant la limite de cette progression géométrique, qui

est

Supposons maintenant A ]> i , et soit encore a un

nombre quelconque compris entre % et i ^ on finira par

avoir u " ^ a , au delà d une certaine valeur de /t , et l'on aura alors les inégalités

d'où il suit qu'à partir de u^^ les termes de la série sont au-dessus de ceux de la progression géométrique croissante

Ils croissent donc eux-mêmes indéfiniment, et la série proposée est divergente.

32& C06IIS d\naLYSE.

Enfin , si l'on avait k= i^ on ne pourrait affirmer, en général , si la série est convergente ou divergente. * 3â5. Troisième théorème. — Siles termes if une série

ifont constamment en décroissant à partir du premier, cette série 'sera com^ergente ou dis^ergente en même temps que la suivante :

(2) «,-h 2a, -+- 4«3 H- 8«7 + i6tt,5 -h . . . .

En effet, supposons d*ahord la première série conver-r gente. Ses termes allant constamment en décroissant, oq aura les relations suivantes ;

2//| = 2li, ,

i6a,i<[2ag -H -+-2a,5,

Ajoutant membre à membre ces égalités et inégalités eo nombre infini , on voit que la somme des premiers mem-r bres, qui sont les termes de la série (2), sera au-dessous de la somme de ceux de la suivante , terminés au même indice de u :

Uo -+• 2a, -H 2ttj H- 2«3 -4- 2M4 4- . . . .

Or cette série n'est autre chose que la série ( i) dont on aurait doublé les termes , excepté le premier. Elle a donc une limite, et, par conséquent, la série (2) en a une à plus forte raison. Ainsi, d'abord la convergence de la première série entraine celle de la seconde. Supposons, en second lieu, la série (i) divergente, ses termes allant toujours en décroissant 5 on aura évidemment les rela-

lions suivantes :