Quatrième théorème. — La série

tto 4- Mi -i- . . . -h «n -h . • •

est coni^ergente lorsque, n croissant indéfiniment^

r: — - a une limite plus grande que Vunité. Elle est diuer-

gente si cette limite est plus petite que l'unité.

En e£fet, soit h cette limite, et supposons d'abord A> I. On aura donc, depuis une certaine valeur de n jusqu'à Finfini, a désignant un nombre compris entre I et. A,

OU

Les termes de la série proposée , à partir de i4„ , sont donc inférieurs à ceux de la suivante :

Or celle-ci est convergente d*après le théorème précédent , puisque l'on a a > i ^ donc aussi la proposée est convergente.

Supposons en second lieu A <] i , et soit a un nombre compris entre i et A. On finira par avoir, au delà d'une certaine valeur de w ,

tin ^ ^1

<;a, ou «„<

Les termes de la série proposée seront donc alors audessus de ceux de la suivante :