Lorsque la limite h est l'unité, on ne peut, en

général, prononcer sur la convergence ou la divergence

de la série. Cependant , lorsque le rapport -y^ est toujours

inférieur à sa limite i , il est facile de démontrer que la série est divergente.

En effet, Tinégalité -r-^ <C i donne

donc les termes de la série proposée sont au-dessus jde ceux de la suivante :

que nous avons démontrée divergente. La proposée Test donc elle-même.

Si le rapport -r-^ était, au contraire, toujours supéHeur

à sa limite i , on prouverait bien que les termes de la série proposée sont au-dessous de ceux de la suivante :

mais celle-ci étant divm^gente , on ne saurait en conclure que la proposée est convergente.

Autre règle pour la convergence des séries, 329. Remarquons d'abord que si Ton a une série con-

vergente

. .-h tt„-H «„^,

et qu^une autre série

«'• -H fi -+- • .

. -f- C„ -h Vn-^t ■

soit telle que, depuis un certain terme jusqu'à Tinfini , Ton ait

Vn U

cette seconde série sera convergente^ car, si Ton multiplie la première par ~ > n ayant une valeur déterminée

telle que la condition supposée soit remplie, la série ainsi obtenue sera encore convergente. Or tous les termes de la seconde, depuis t'», se trouveront inférieurs aux termes correspondants de cette dernière \ donc la seconde série sera elle-même convergente.

Cela posé , considérons une série

telle que Ton ait

lim î^' = 1 ,

le rapport -^^ étant toujours plus petit que l'unité, de-

puis une certaine valeur de n jusqu'à Tinfini. On pourra mettre ce rapport sous la forme

of. étant positif et tendant vers zéro.