PREMIÈRE PARTIE

Or nous allons démontrer que si l'on a

lim «a ^ 1 ,

la série sera convergente, et qu'elle sera divergente, si Ton a

lim «a <^ I .

i*'. Soit

lim noL = k et A '^ i .

Désignons par m une quantité déterminée quelconque, comprise entre \ et A , et , par conséquent , plus grande que l'unité. Il est facile de voir que , depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini , on aura

En effet ,

ni n i ,7,n^

et pour que l'inégalité précédente ait lieu , il suffira que l'on ait

n 1 .2.«^ OU

/la > /w H ^ -h . . . .

Or le second membre tend vers m et le premier vers h , à mesure que n augmente : donc, depuis une valeur déterminée de n jusqu'à l'infini, l'inégalité aura lieu, puisque la limite de son premier membre est plus grande que la limite du second 5 donc depuis cette valeur de n jusqu'à l'infini , on aura

et, par suite,

ou

l-hOL .

Mais si Ton considère la série

le rapport du terme général au précédent sera

et, par conséquent, plus grand que dans la série proposée. De plus, la série ( i ) est convergente, puisque Ton a m ^ I : donc aussi la série proposée est convergente^ ce que nous nous proposions de démontrer.

2^. Soit maintenant

. lim «a = /■ et h <^\,

Prenons une quantité quelconque, m comprise entre i et A , et , par suite , plus petite que l'unité -, je dis que Ton finira par avoir constamment

ou

„<îîi+l'("'-0

ou encore

noi <r w 4- — ^ ' 4-