PREMIÈRE. PARTIE

En effet , lorsque n croit indéfiniment , le premier membre tend vers Al , et le second vers m , qui est plus grand que k. Donc , depuis une certaine valeur de n jusqu'à rinfini, les inégalités précédentes auront lieu*, d'où il résultera

et, par conséquent, -^^ finit par être constamment su-

périeur au rapport des termes correspondants de la série

dont le terme général est — ;;;• Mais m étant plus petit que

Funité , cette dernière série est infinie ; donc la proposée Test aussi.

Donc enfin, comme nous l'avions annoncé, la série proposée sera convergente , si Ton a lim »a ^ i ; et divergente , si Ton a lim na<Ci i .

330. On ne peut, en général , prononcer sur la nature de la série , lorsque Ton a

lim /la = I .

Néanmoins, si na est toujours plus petit que la limite I , on peut affirmer que la série est divergente \ car alors on a

et le rapport -^* est supérieur au rapport relatif

à la série divergente

î I II

d'où il résulte que la série proposée est infinie.

336 COURS d'analysie.

Le seul cas qui reste douteux est donc celui où Ton a

lim /fa =r I ,

noL n'étant pas constamment plus petit que i . 331. Appliquons cette règle à la série

II 1.3 I 1.3.5 I 2 3 a. 4 5 2.4.0 7

On aura , dans ce cas ,

hm = I

et

«IM-I __ (i^"*" O.l- =

d'où

a = r r- 9 nCl = -s y 7

et, par suite,

lifn /la = -7 = I H — :

d'où il résulte que la série proposée est convergente. Considérons maintenant cette autre série

pour laquelle on a encore lim -^ = i . Le rapport aura pour valeur