PREMIÈRE PARTIE. ^n
Les dérivées, par rapport à a:, des deux membres de cette équation, devant être identiques, eij étant une fonction déterminée, quoique inconnue de j:, nous aurons, d'après la règle des fonctions composées ,
^F dFdy dF , dF ,
équation qui détermine la dérivée ou la différentielle de j", puisque Ton peut former les dérivées partielles
—9 — de la fonction explicite F{x^j), On aura ainsi
rfF dF
dy dx ,, . , dx
-=:-^, dou dy^-^-^dx,
dy dy
Ces valeurs de la différentielle et de la dérivée de y sont exprimées au moyen de x et y à la fois; elles ne peuvent l'être au moyen de x seul, que quand on peut résoudre l'équation F(j:,j^) = o par rapport ^y\ mais néanmoins ces formules ne laissent pas que d'être d'une grande utilité dans le cas même où cette résolution est impossible.
43. Considérons maintenant m — i équations entre tn variables ; ce qui détermine m — i d'entre elles en fonction de la /w'^"**, qui sera la seule variable indépendante. Soient
F {xyyy z,. . .) = o, F,{x,y, z,. . .) = o,
48 Gouas d'analyse.
on trouvera , en différentîant toutes ces équations ,
dF , dF , dF-
—-dx H- 3- «r -^ -r-dz -f- . . . = o ,
dx dy HZ
— dx +—dx +—dz +...= 0,
— - — dx H ; — dy H ; — dz -{- . . . =r o.
dx dy dz
De ces m — i équations du premier degré par rapport à dy^ dz ,etc. , on tirera en général la valeur de ces m — i inconnues en fonction de a:, j', z^,., et dx\ ce qui était l'objet de la question. Si , pour certaines valeurs particulières de a:, y, z, etc., tous les coefficients d'une de ces équations devenaient nuls , on la différentierait une ou plusieurs fois jusqu'à ce que les coefficients ne devinssent plus nuls. Les inconnues n'entreraient plus liniéairenient dans cette équation, mais elles n'en seraient pas moins déterminées -, seulement il* y aurait plusieurs systèmes de solutions.
Expression remarquable du rapport des accroissements finis de deux'fonctions d'une même variable.
44. Soient F(x)^ f(x) deux fonctions quelconques, et Xo, X deux valeurs arbitraires de a:, X surpassant Xq d'une quantité finie positive h. Il s'agit de trouver, au moyen des dérivées de ces fonctions , une expression du rapport
en supposant que la fonction f{x) soit toujours croissante ou toujours décroissante ^ ou, en d'autres termes, que sa dérivée soit constamment de même signe, pour
paEMi:^:RE partie. ^q
toutes les valeurs de x comprises entre cr© et X. Admet- Tons, pour fixer les idées, que ^ (x) soit constamment positive entre ces limites 5 et soient A , 6 la plus grande et la plus petite valeur que prend entre ces mêmes limites le
rapport ^,, ! \ on aura constamment
Multipliant par f'{oc) qui est positif, on aura les deux inégalités suivantes, qu*il faudrait changer de sens si y [x) était négatif :
Le premier membre de la première est la dérivée de F (a:) — Af(x)y et par conséquent 'cette fonction est constamment décroissante depuis Xq jusqu'à X, puisque sa dérivée est constamment négative dans cet intervalle. On aura donc •
F (X) - A/(X) < F (^0) ^ A/(^o) , d'où
La seconde inégalité conduit de même à
Si donc le rapport -ttj^ est continu entre Xo fît X , ce
qui arrivera évidemment, par exemple, si F' (x) et f {x)
le sont séparément, il existera une certaine valeur de x
intermédiaire entre x^ et X, telle que ce rapport devien-
2« édU. 4
5o COUBS D*ANALTSB.
dra égal à ~— ^ — TvT' q^iî^s^ compris entre la plus
grande et la plus petite valeur que prend yrhi* ^^ l'on désigne cette valeur de x intermédiaire par x© -f- 9A , ayant* une valeur comprise entre o et -f- i , on parviendra à la formule suivante , dont nous ferons de nombreuses applications :
Si l'on avait supposé f^ (x) constamment négatif, les inégalités n'auraient fait que changer de sens, et n'en auraient pas moins conduit à cette même formule. Il faudra bien se rappeler, dans les applications de cette formule, qu'elle suppose que f^{x) soit constamment de
même signe entre Xq eiXo-{-h^ et que le rapport ^,^
passe par toutes les valeurs comprises entre sa plus grande et sa plus petite , quand x passe par toute» les valeurs comprises entre Xo et j?o -h h,
4S. Nous allons déduire de l'équation (i) quelques propositions qui nous seront fort utiles par la suite.
Si l'on avait pour une valeur particulière Xo de la variable, F(xo) = o^f(xo) = o, la formule (i) deviendrait, en posant 9h == h^ , h^ étant moindre que h ,
Si Ton avait, en outre, F'(xo) =^o, jf' (xo) = o, on aurait semblablement
F^(:ro + ^.) F"(a:o-h^O
P&KMlèllK PARTIE. 5l
F " (x\ A, étant moindre que h^ , et en supposant que / ' passe
par toutes les valeurs entre sa plus grande et sa plus petite ; et , par suite ,
F{x, + h) F"(a:, + h,) f{x,^h) ~f"[x,+Ji,)
En continuant ainsi , on verra que si Ton a les conditions
F(jro) = o, F' (oTo) = o, . . . , F"-' (x) = o, /(^o) = o, /' (j:,) = o, . . . , /«-• (47o) = o y
et que les rapports des dérivées de même ordre, Jusqu'à Tordre n inclusivement, passent par toutes les 'valeurs entre leur plus grande et leur plus petite, ce qui aura lieu s^ils sont continus , on aura
• F (^0 -H ^) F" (xq h- 9/i)
B désignant une quantité positive moindre que l'unité. Si toutes les conditions précédentes étaient satisfaites, ex^* cepté F (xo) == o , on aurait*
^^ f[x,-^h) ~" /" (xo -f-0A);
46. Comme application de cette dernière formule, supposons que l'on ait
/(x)i=(x — Xa)»,
et que la fonction'F (x) ait toutes ses dérivées continues jusqu'à F" (a:) inclusivement, entre Xç^ et o:© + A: les conditions /(xo) = o, /' (xo) = o, . . .,/"""* (j:o) = o seront évidemment satisfaites ; et , en supposant toujourë que
52 COURS D*ANftLYSE.
ron ait
F' (jTo) = O , . . . , F»-' (j-,) =: O,
l'équation (3) devient
F(jro-hA) — F(j:o) F"(jCo4-&A) ^ .
d'où
On voit que si l'accroissement A de x tendait vers zéro , et que F" (x^) fût fini , l'accroissement de F {x) serait •infiniment petit de l'ordre n par rapport à celui de x^ pour la valeur particulière Xo .
Si l'on a , en outre , F (xq) == o , la formule précédente devient * "
(5) F [xo -+- A) = — F«(a:o -+- Ô/«).
I • ^ • • m fi
Si a:© est zéro , Qette équation se change en la suivante ^
et, changeant l'indéterminée h en x,
en admettant tes conditions
On peut remarquer qu'on aurait semblablement
F'(x)= rF^rô.o:),
rREMl£RE PARTI F. . 53
et que par conséquent , dans ce cas , F (x) est infiniment petit par rapport àF' (x).
Si l'on n'avait pas F{Xq) = o , on obtiendrait, au lieu de l'équation (6),
(7) FW-F(o) = r^^F'W-
47. Nous* déduirons de ce qui précède un corollaire très-simple , et qui nous servira par la suite. II consiste
en ce que si -——■ tend vers zéro en même temps que x ,
et que F(x), F'(j:),..., F"(x) soient continues entre o
et :r , la fraction \ pourra se mettre souis la forme
— ^ — — En effe^ il résulte d'abord de l'hypothèse, que
Ton doit avoir *
F(o)=ro, F'(o)=ro,..., F'-'(o) = o;
car sans cela — ^ serait infini , pour a:=o. On peut donc
appliquer ici la formule (6), et Ton voit, par conséquent,
. FW que si -^^^ devient nul pour j: = o, on aura
48. L'équation (4) , dans laquelle on suppose « = i , devient, en remplaçant par ,r la quantité arbitraire Xo,
Elle conduit immédiatement à une conséquence déjà obtenue précédemment, savoir : qu'i7 n'y a quune expression indépendante de x^ dont la déiwée par rapport à x soit nulle quel que soit x.
54 COURS i>\nalyse.
En effet, soit F(:r) une fonction telle, que pour toute valeur de x on ait F' (.r) = o \ Tëquation désignée montre que, quels que soient x et x -h A , on aura
puisque F' [x -f- Bh) est nul par hypothèse. Donc F (x) = F (a: -h- /i), et par conséquent la fonction F [x) a toujours la même valeur, quelle que soit la valeur de la variable*, elle est donc constante relativement à a:, ou, en d'autres termes, elle ne dépend pas de x.
De là résulte cette conséquence , que deux fonctions qui ont la même derwée par rapport à une même variable y ne peuvent différer que par une constante y c'està-dire par une quantité indépendante de cette variable. En effet, la dérivée de la différence de ces deux fonctions , étant \^ différence de leurs dérivées, est nulle d'elle-même , d'après l'hypothèse -, donc cette différence 'est une constante, comme il fallait le démontrer.
49. Nous terminerons par cette proposition très-importante , que si F (^r, j) est égal à zéro quel que soit j:, quand on donne à y une certaine valeur particulière a , toutes les dérivées de F (x, y) par rapport à x deviendront aussi nulles, quand on y fera y r=za.
En effet, pour toute valeur àe x et de A, on aura, en vertu de l'équation (8),
(9) Y[x -h A, y) - F(j:, y) = AF'(x -f. ô/i, j),
la 'dérivée étant prise par rapport à x.
Or les deux termes du premier membre deviennent nuls pour y = a ] donc F' (x-\-6h^ a) = o.
Et comme x et h sont arbitraires , on peut affirmer que x H- Sh peut prendre toutes les valeurs possibles , bien qu'on ne connaisse pas la valeur de fl^ car x-f-SA est toujours compris entre x et x -f- A , et l'on peut faire en
PHKMISRE PARTIE. 55
sorle quex et x -4- A comprennent toujours entre eux une valeur arbitraire x' et s'en rapprochent indéfiniment; d'où il suit que X4-5A peut s'approcher.indéfinimentde x', • et que , par conséquent, F' (x, a) est nul quel que soit x. De là on déduira semblablement qhe F^' (x, a) est nulle quel que soit a:, et qu'il en est de même en général de F'»(x,.û). • •
50. 11 est ^ncore utile de remarquer que si h tend vers zéro , et y vers a , le second membre de Téquation (9). sera infiniment petit par rapport à /i, puisque F' [op -\-Qh^j) tendra vers zéro ; doue la différence infiniment petite relative à x^ d^ une, fonction V (x^y) qui est infiniment petite, quel que soit x, est infiniment petite par rapport àT accroissement correspondant de x*
Différentielles et différences d'un ordre quelconque de fonctions d'une seule variable.
51. La difTérentielle dy d'une fonction j^ de x^ étant elle-même une fonction de x^ aura aussi sa difTérentielle-, et ce sera une quantité dont le rapport à la diiFérentîelle • de X sera égal à la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit àe dy k l'accroissement correspondant devr. Pour plus de simplicité, on prendra pour la difTérentielle de x^ dans cette nouvelle différentiation , la même valeur que dans la première \ et , en général , on lui conservera toujours la même valeur pour toutes les difïérentiations que Ton aura à eflecluer ; c'est ce que l'on appelle prendre dx constant. Nous représenterons la diflérentielle de dy par ddy ou d^y^ et nous l'appellerons la différentielle seconde de j par rapport à x. De même d^y auya une difTérentielle que l'on désignera par J'r? «t qui s appellera la différentielle troisième de j; et ainsi àv suite. .
II faut bien se garder de confondre ces indices de diflerentiation • avec des exposants de puissance. Les puis- . sances successives d'une difterentielle dj s'écriraient de la manière suivante :
Rien n'est plus facile que d'exprimer les différentielles successives de la 'fonction F [x) désignée par j^, au moyen de ses dérivées.
En effet, on a d'abord
dy = Y'{x)dx.'
Or la différentielle de ¥' {x)dx sera le produit de dx par sa dérivée par rapport à x, laquelle est Y"{x)dXy puisque cfcr est indépendante de x. On aura donc
d^X =-¥''[x)dx\ On aura de même
d'y = Y"'\x)dx\ et généralement . .
ou
dx
de sorte que les dérivées successives d'une fonction de x peuvent être considérées comme les rapports des différentielles de même ordre de cette fonction aux puissances du même degré de dx.
52. Les différentielles successives d'une fonction ont avec les différences de cette fonction des rapports qu'il est essentiel de connaître.
. La différence Ay de la fonction y étant elle-même une fonction de x, a aussi une différence y il en est de même de celle-<ci, et ainsi de suite indéfiniment* Pour former ces diflérences successives de la fonction y y on suppost*^
PRKMlÈaK PARTIE. ^ ô']
que Ton donne constamment à x le même accroissement Ar, et on les désigne de la manière suivante :
Les puissances de Ay seraient désignées èomme il suit :
Or la proposition que nous allons démontrer consiste en ce que l'on a généralement , lim --—■ = -j^' En effet, 'on a d'abord
SU devenant nul quel que soit x^ quand on fait Ax = o. Prfendns maintenant les accroissements que subiront ces deux membres lorsque Ton augmentera encore x de Ax^ et
divisons-les par Ax'^ le premier donnera — ^« Quant au
second , il suffira de prendre sa dérivée par rapport à x et d'y ajouter une quantité qui soit iniiniment petite en même tetnps que Ax, Mais co devenant nul avec Ax^ quel que soit x, sa dérivée deviendra nulle en même temps 5 et par conséquent le second membre diffère de F'' (x) d'une quantité qui devient nulle avec Ax. En la désignant par o)] , nous aurons
en prenant encore les accroissements des deux membres de cette identité, relatifs à un nouvel accroissement Aj:, et les divisant par Ax^ on obtiendrait semblablement
