AH

et généralement '

^=F«{xJ +»..,

«a-i devenant nul avec Ar.

On a donc , en passant aux limites ,

lira — ^=F«W = -^,

comme nous l'avions annoncé.

Il suit de là que si Ton fait tendre Ax vers zéro , en

prenant c?j: = Ax, le rapport -t;^- aura pour limite Tu-

ni té 5 et la différentielle de V ordre n d* une fonction quelconque de X pourra être prise pour la différence du même ordre de cette fonction en négligeant une quan-* titc infiniment petite par rapport à cette différence, .

Cette proposition est très-importante, en ce qu'elle permet de substituer les différentielles d'ordre quelconque aux différences infiniment petites de même ordre , dont l'expression serait beaucoup plus compliquécf, et il n'en peut résulter aucune erreur dans les calculs où l'on ne considère que les limites des rapports ou des sommes.

53. Remarque, — Lorsque plusieurs fonctions, que l'on a à considérer dans une même question , dépendent toutes d'une seule variable x^ les différences premières infiniment petites sont toutes déterminées par Ao?, ou par une quelconque d'entre elles; ainsi Ay désignera partout le même accroissement, soit qu'on le détermine d'après Az ou d'après la valeur correspondante de Ar, en supposant toujours que la valeur de x soit la même. Mais le A'y n'aura pas la même valeur quand il exprimera la différence de y par rapport à a: ou par rapport à z. En effet, dans le premier cas il faut considérer les trois valeurs dcj' correspondantes à .r, .r-f-Ax, a:~h2Ar5 .

t PREHlèHE PARTIE. 5i)

prendre la diilerence de la deuxième à la première, et de la troisième à la deuxième, puis la différence de ces deux différences. Dans le second cas, il faudra .considérer les trois valeurs à&y qui correspondent à z, z-j-A«, z-h^^^^ et agir dfe la même manière sur elles. Or les deux premières sont les mêmes dans les deux cas ; mais la troisième est différente parce que k x-h ^Ax ne correspond pas z + ^Az : il s'en faut d'une quantité infiniment petite par rapport à Az , et que Ton n'a pas le droit de négliger par rapport aux différences du second ordre.

U est dqnc nécessaire de distinguer avec soin les différences désignées par A'j-, dans les questions où Ton ne prendrait pas toujours la même variable indépendante. U en serait de nième des ordres supérieurs.