PREMIÈRE PARTIE

On aura donc

et

lim/7a = -»

d'où il résulte que la série est divergente, et que la somme est infinie.

Autre règk déduite de la considération des intégrales

définies,

332. Nous allons faire connaître encore une règle qui a été déduite de la considération des intégrales définies. Soit la série

dont tous les termes , depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini , sont positifs et décroissent constamment en tendant vers la limite zéro. Elle sera convergente ou divergente suivant que la somme des termes, à partir de cette valeur de n, tendra ou non vers une limite finie.

Supposons que l'expression du terme général soit une fonction de forme finie de zi, et désignons par u^ une fonction de la variable x, obtenue en changeant n en x dans M„. Cette fonction u^^ reproduirait tous les termes de la série proposée , en y donnant à x toutes les valeurs entières et positives. Sa valeur allant constamment en décroissant quand on fait croître x par degrés égaux à l'unité, à partir d'une certaine valeur entière, il arrivera généralement que la fonction u^ ira constamment en décroissant lorsque x croîtra d'une manière continue depuis une certaine valeur jusqu'à l'infini.

Admettant qu'il en soit ainsi depuis la valeur entière 2*' rV//V. 22

338 COURS d'analysf-

m , on aura

et

/»m-f-3 "«4-2 !> / UgdXf, , . ,

d'oùîl résulte, en ajoutant respectivement ces deux séries d'inégalités , membre à membre ,

Jr* 00 I W,dj?<^ «w-h «^m^i -4- «m-i-2 +• • • m

et

I Uxdx^ «m+i 4- ««+2 + • . . .

Jm

u^rfo: est finie, il s'ensuivra que

la série à partir de m^i le sera de même \ et si elle est infinie > la série commençani à m« le sera aussi. D'où il résulte que la série proposée sera convergente ou divergente , suivant que l'intégrale

u,dx

sera finie ou infinie.