Appliquons cett^ même règle à la série

% 2 log 3 logn

On a alors m^ =^ —^9 expression qui décroît constamment depuis la valeur de x pour laquelle log je == i • Or

dx log X log' X

X 2 log e

Donc I Ujcdx est infinie, et la série en question est di-

vergente^ ce qui montre que le produit v/a^S V^... \/n... est infini. Notre première règle conduirait au même résultat, parce que Ton aurait

log/i — «logf I +- J

ce qui donne lim na = i. Mais comme on a évidemment «« <[ 1 5 la série est divergente , d'après une remarque faite précédemment.

L'une et l'autre règle feraient voir que la série dont

le terme général est ( — ^ ) est convergente.

o^y couBS d'analyse.

Séries dont tous les termes ne sont pas de même signe.

335. Lorsqu'une série n'a pas tous ses termes de même signe, il est évident cpi'elle sera convergente, si elle l'est quand on donne le même signe à tous ses termes, par exemple quand on les prend tous positifs. En effet, k somme des termes qui suivent l'un quelconque de ceux de la série proposée est moindre que la somme des correspondants de la seconde, quel que soit le nombre que l'on en considère, puisque tons ces termes s'ajoutent entre eux dans la seconde, tandis que les uns s'ajoutent et les autres se retranchent dans la première. Donc, puisqu'à partir d'un certain terme de la seconde, la somme des suivants a une limite qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, il en est de même à plus forte raison dans la première-, et, par conséquent, elle est

convergente. , h , •

On peut donc d'abord appliquer à ces nouvelles sénés les règles données pour celles dont tous les termes sont de même signe , tant pour reconnaître la convergence que pour calculer une limite de l'erreur commise en s'arrêtant à un terme quelconque. Mais ces règles ne dispensent pas d'en chercher de nouvelles, spécialement applicables aux séries dont tous les termes ne sont pas de même signe; parce qu'une pareille série peut être convergente, et devenir divergente quand on donne le même signe à tous ses termes. Nous nous bornerons à celle qui résulte du théorème suivant ;

Théorème. — Lorsque dans une série les termes finissent par être constamment décroissants, et- alternativement positifs et négatifs, cette série est toujours convergente; et l'erreur commise, en s' arrêtant à un tei-me quelconque, est moindre que le suivant.

PREMIÈRE Partir. 34 x

Soit la série

Désignons, en général, par s,^ la somme des termes depuis le premier jusqu'à m,„ inclusivement.

Nous remarquerons d'abord que la somme s„ de termes dont le dernier est positif ne peut être que diminuée par Taddition d'un nombre quelconque des termes suivants. En eflet , pour passer de la somme .ç„ à 5„^i , il faut retrancher w„^.i^ donc on a s,t^i<^s„. Pour obtenir la somme suivante 5„^j, il faut ajouter m„+8, qui est moindre que le terme «„+i qui a été retranché de 5„; donc on a encore s„^2 <C ^n' Le même raisonnemeût se reproduisant indéfiniment , on voit que la somme 5„ est plus grande que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

On voit, au contraire, que si l'on s'arrête à un terme négatif, la somme sera toujours moindre que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

Ainsi les sommes dont le dernier terme est positif vont toujours en diminuant; et celles dont le dernier terme est négatif augmentent constamment, en restant toujours au-dessous des premières. Ces deux suites de sommes se rapprochent donc de plus en plus à mesure qu'on avance dans la série, et leur différence tend vers zéro, puisqu'elle n'est autre chose que le dernier terme de la dernière, lequel tend vei's zéro, par hypothèse, à mesure que son indice augmente indéfiniment.

Donc enfin la somme des termes tend vers une limite détefminée, et V erreur positis^e ou négative est toujours moindre que le terme qui suit celui auquel on s*est arrêté.

Soit , par exemple . la série

34 3 cou us D^ANALYSE.

Le rapport d'un terme au prëcédent est exprimé généralement par j:, et sa limite est x. Ainsi , d'abord la

série «era convergente si l'on a a:<^ i en valeur absolue^ divergente si x >■ i. Lorsque j: = i, la série est convergente en vertu de la dernière règle , puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment. Mais si Ton prenait a: = — i, la série aurait une somme infinie.

Lorsque la série est convergente , l'erreur que l'on commet, c'est-à-dire la quantité que l'on omet, en s'arrêtant

à — t est moindre que ? et de même signe que ce

terme.

Des séries imaginaires.