PREMIERE PARTIE. S/fS

Or, si la série

est convergente, en prenant tous les termes positifs, il s ensuit, à plus forte raison, que les deux suivantes :

/31 (P«<^os0^-hp,cos0, H-...-f-p„cos0„-f-...,

jposin9„-+-p,sînÔ, +. . . + p„sin9„-|-. , .

le seront elles-mêmes 5 car, à partir d'un terme quel* colique , la somme des suivants jusqu'à Finfini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Une série imaginaire est con\^ergente lorsque la série des "Valeurs absolues des modules de tous ses iermes est convergente»

Lorsque la série (2) n'est pas convergente, il est possible que ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils n'y tendent pas , les séries (3) ne peuvent être toutes deux convergentes 5 car, quelque valeur qu'on puisse supposer à l'angle 9, il est impossible que pcosQ et josind tendent tous deux vers zéro , si p n'y tend pas. Les termes des deux séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro, ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série ( i ) est donc, dans ce cas, ddi^er^ gente.

En second lieu , si la série ( 2 ) étant divergente ses termes décroissent indéfiniment , il n'est pas impossible que les séries (3) soient convergentes, parce que tous leurs teimes ne sont pas de même signe; on ne peut donc alors rien affirmer, en général , sur la convergence de la fiéi'ie proposée.

344 coufts u'ahalysc.