PREMIERE PARTIE
Il semble d'abord que toutes les cousidérations auxquelles ces sortes d'expressions peuvent donner lieu soient relatives aux circonstances qui leur donnent naissance dans les questions dont elles présentent la solution ; mais on a trouvé de très-grands avantages à les introduire dans les données mêmes de certains calculs , et c^est sous ce point de vue que nous allons les considérer.
Sans attacher aucune idée de quantité à Texpression
)j — I , nous convenons de la traiter de la même manière que si c'était un nombre dont les puissances successives seraient
les quatre premières se reproduisant indéfiniment dans le même ordre.
Rien ne s'oppose à ce que l'on fasse des calculs algébriques dans lesquels y/ — i soit traité de cette manière^ il ne s'agit que de savoir s'il y a quelque intérêt à le faire , et si de pareilles opérations peuvent offrir de nouvelles ressources à l'analyse. Il pourra quelquefois être plus
commode de remplacer sj — i par une lettre dont les puissances se distinguent toutes les unes des autres , tandis que celles de sf—i se reproduisent périodiquement.
En désignant ^ — i par X, nous entendrons que X soit traité comme un facteur ordinaire, d'après toutes les règles démontrées dans le cas des quantités réelles ; seulement, après tous les calculs effectués, on remplacera les puissances
par
338. Lorsque nous poserons une équation entre des quantités réelles et imaginaires, comme
3|6 ^ COURS u'analysr.
nous entendrons toujours que Ton savait d'avance que A = A' et B = B'. Ces dernières équations ne seront jamais des conséquences de la première^ c'est, au contraire, la première qui en est la conséquence, et nou^ n'attacherions aucun sens à cette équation si nous ne savions , indépendamment d'elle , que les parties réelles sont égales de part et d'autre, ainsi que les coefficients
respectifs de v^ — i. Nous insistons sur ce point, parce que la plupart des auteurs l'entendent de la manière inverse.
339. Ayant bien établi de quelle manière nous traiterons l'expression y/ — I, nous allons montrer, par un premier exemple, l'avantage qne l'on peut avoir à l'introduire dans le calcul. ^
Considérons les deux expressions
ces
x-^s] — I sin^, cosj*-|-v^ — \%ïny.
et multiplions-les entre elles , dans le sens que nous attachons ici à cette opération 5 nous trouverons
cos.rcos/ — siaxsin^' -h \/ — 1 (sio.r cos j +sin j cosj*),
ou
cos(.r -I- j) H- si — i sin(a; -H /}.
INous pouvons donc poser
(cosx-i-y/— I sin jr) (cosr+V~* sin j)— cos(.r-j-^)-j-^— i sin {x-\-jr)y
puisque nous avons prouvé d'avance que les parties réelles étaient respectivement égales, ainsi que les coefficients de y/ — I .
Et Ton conclut de là que pour diviser deux expressions de cette forme Tune par l'autre ( en entendant par quotient une expression qui , multipliée par le diviseur suivant les règles convenues , reproduirait le dividende), il
