PREMIERE PARTIE

suffit de retrancher l'arc qui se trouve au diviseur de celui qui entre dans le dividende.

En multipliant le produit de ces premières expressions

par une troisième cosz -|- v^ — i sin;2, il suffira encore d'ajouter les arcs x -hj et .2 , ce qui donnera la nouvelle équation

(cosa:H- ^ — 1 sina;)(cos/4- \/ — i sinj) (cosz -H \/ — i sinz)

= CCS (a? -H ^ H-«)h- y — 1 sin(j: H- j 4-*);

et il est facile de voir que, quel que soit le nombre des facteurs de cette forme , leur produit eiFectué donnera toujours pour partie réelle le cosinus de la somme de tous les

arcs, et pour coefficient de y^ — i le sinus de cette même somme. On pourra donc poser une équation semblable à la dernière, en supposant un nombre m quelconque de facteurs, puisque les parties réelles sont démontrées égales, ainsi que les parties imaginaires. En supposant le cas particulier où X = y = z ^= ,..^ on aurait la formule suivante , qui est due à Moivre :

( i) ( ces j: -h V' — I sin x)'^=z cos mx -h V^ — i sin mx ;

il est donc prouvé que , si l'on forme la puissance m du

binôme cos x -h y/ — i sinx d'après les règles ordinaires , la partie réelle sera égale à cos/njc, et le coefficient de

s/ — I à sinmx. Or le développement de la puissance ni d'un binôme s'efl'ectue au moyen d'une formule trèssimple; on aura donc ainsi le développement général de cosîfix et sinmx, m étant un nombre entier quelconque. Ces formules sont

C05r?;x = cos"'.r cos'"""' xsni 'j;:

;w(/7i— i) (wi — 2) (m — 3) „/ . . ,

nt (m — 1 ) (/.'/ — '1) ^ , ...

sin nijc^z:. m c«)s '" ' ' .r siii .r i —„ • xioi» "^ x siu a- \- . . ,

348 COURS i>\nalyse.

Od peut observer que le développement de

(cosx — ^ — 1 sinx)" ue différerait de celui de

(coso: -4- V — I sinx)'"

que par le signe des termes où se trouvent les puissances impaires de ^ — i, et que , par conséquent ,

(cosx — ^ — I s>inx)''z=zcosmx — ^ — i sïnmx.

340. En entendant par racine n**'"* d'une expression imaginaire une autre expression qui , élevée à la puissance /i, suivant le sens convenu, reproduirait la pre-

mière • on voit que cos -±J — i sin - est une racine de

cos x±^ — 1 sin x, puisque nous avons prouvé que pour élever une semblable expression à la puissance /*"''"*' , il suffit de multiplier Tare par n. On a donc

(cosx±v/ — I sinx)" = cos-dbv'— • sin~;

in~

et si Ton élève les deux membres à la puissance p^ il vient

( co5x± J — I sina?) " = cos - x± d — i sin -^ , ^ n n

ce qui montre que l'équation (i) est vraie quand m est un nombre fractionnaire quelconque -? en entendant seulement par là que cos^a:zir ^ — i sin- j:, élevé à la puis-

sance n , donnerait la puissance p de cos a: ±sl — i sin j:, et que, par conséquent, il est une des racines n"'"'" de cette puissance p .