PREMIÈRE PARTIE. Z^g

L équation ( i ) est encore vraie si m est égal à un nombre négatif — w. En effet,

(cos X 4- v'^ sin x) -" = pr^ r- = ; — = ;

(008JC4-V — isinar) (cosnx-hy— i sinnxj

or diviser par cos nx -\-)] — i sin nx^ c'est trouver une expression qui, multipliée par ce diviseur d'après les règles convenues, donne pour produit le dividende; ce

quotient est donc cos nx — V' — i sinnx.

Donc

(cosx 4- si — I sin j?)"" = cos( — nx) -+- )j — i sin ( — nx),

La formule (i) est donc vraie , quelque valeur réelle qu'ait m , en observant toutefois que si la puissance m est susceptible de plusieurs valeurs, nous avons seulement prouvé ici que le second membre en est une.

341 . Nous allons résoudre maintenant la question inverse, qui consiste à développer cos '"a: et sin '"a: au moyen des cosinus et sinus des arcs multiples de x^ m étant un nombre entier.

Pour cela , nous poserons

cosa: -4- V — I sm j: = //

cos X — ^ — I sin X = c ;

et, par suite,

a'«co8'"Jp=u'»-f-»Mu'»«-' v-\ ^ a'"~«t''-f-, . .-i-wiiit''"** -h f».

Observant maintenant que u\^= i , et que M*-hv'*= 2 cos Ax, on aura

, . mlm—\) 2'"cos"'x = 2c08mj:+3.'nco6(m — 2)r-|-2. — ^ ^co8(i?i-— 4)^H-' • ••

Si m est pair, le terme qui se trouve au milieu du dévelop-

35o GOITRS u'aNALYSK.

pement de (u-h ^')"' se réduit à ^ L et

forme le dernier terme du développement de 2'"cos'"a:. Si m est impair, les deux termes du milieu sont en a et ^ de la forme

wi-f- 1 m — I wi— I ni'i'i

a p etap,

expressions qui se réduisent respectivement a w et p-,

puisque m^^ = i . Le dernier terme du développement de

a^cos'^o: est alors

2 } ^ cosr.

On développera maintenant sin"* j:, eu observant que

2 y — I sin a: = u — p.

d*où

/ \-. . ml m — i)

2'"(v^ — i)'"sin'".r= a" — w«*'-'f H ) ^^m-i^i

ce qui signifie toujours que les parties réelles sont les mêmes de part et d'autre , ainsi que les coefficients de

\/ — I , s'il y reste , ce qui n'arrivera que si m est impair. Supposons d'abord m pair : les termes à égale distance des extrêmes seront de même signe, et, en les réunissant deux à deux , on trouvera

2»>( — i)-* sin'":c = 2C0S/wa: — 2//icos(/it — 7)x

mim — i) , ,,

PRF.MIÈRP. PARTIR. 35 1

le dernier terme sera

le signe -h correspondant à — pair, et le signe — à —

impair. Si m est impair, le développement pourra se mettre sous la forme

en remplaçant partout ui^ par i . Si donc on observe que M* — ^*---2y^ — I sinix, on aura , en ne prenant que les coefficients de \/ — i,

2'"( — i) sin'"j7= asinw^ — 2/wsin(/w — 2)x

-f- 2 — i -' sm ( WI — â)x — ... ;

le dernier terme sera

sm X.

le signe -H ayant lieu quand sera pair, et le signe

— quand il sera impair.

342. Examinons maintenant en quoi consiste l'avantage que l'emploi de y/ — i a procuré dans la recherche des développements de cos'^o: et sin'"j:.

Nous avons remplacé acoso: par

ces

•^ -f- y/ — 1 sin .r 4- ces x — v^ — i sin .r ,

352 COITES U*A?IALTSE.

qui lui est identique, puisque les deux termes

V — 1 sinx et — y — i suix, traités comme sMls représentaient des nombres, se dé*

truisent. Et même si , an lieu de v~i , on met une quan> tité X indéterminée, on pourra remplacer 2 cosx par

(cosx -h>sinx)-4-(cosx — >sinx);

et quelque calcul que Ton eflectue sur cette expression, le résultat sera nécessairement indépendant de 1, et les puissances d'un même d^ré quelconque de cette lettre auront zéro pour coefficient. Or prendre seulement les termes réels du résultat, c'est négliger les puissances impaires de X et ne conserver que les puissances paires , ce qui est permis , puisque les coefficients de chaque puissance de X sont nuls. Mais quand on remplacera X' par — 1 9 il pourra y avoir des réductions entre les termes correspondants à des puissances différentes de X, et notamment avec ceux qui ne renfermaient pas X , et qui sont précisément ceux que Von trouverait en ne transformant pas d'abord 1 coso:. Il peut donc résulter de là de nouvelles combinaisons qui , sans altérer la valeur du résultat, lui donnent une forme plus commode. Cela revient à ajouter au résultat des quantités qui se détruisent : mais à chaque instant, dans Talgèbre, on voit de pareils artifices faciliter les transformations; et ce qui fait que, dans le cas actuel , on en retire réellement un très-grand avantage , c'est que les deux binômes dont la somme remplace 2 cosx sont tels , que les puissances de chacun d'eux s'eiTectuent immédiatement par la multiplication de Tare , et que le produit des puissances semblables de l'un et l'autre est l'unité. Il résulte de là que la puissance /w*'"" de cosx se trouve immédiatement exprimée au moyen des cosinus des arcs multiples de t; et il est de même pour sin"* .r.