PREMIERE PARTIE

Usage des lignes trigonométriques pour Pexiraction des racines des quantités réelles ou imaginaires.

343. Les racines de degré m d'un nombre réel positif ou négatif ± A , sont les racines de l'équation

^•"qpA = o;

ces racines peuvent se ramener à celles de Timité, en posant y = ax^ a désignant la racine m'^'"' arithmétique du nombre A ; l'équation proposée se trouve ainsi rame^ née à la suivante:

JC^ZP I = O.

dont nous allons déterminer les m racines, qui sont toutes inégales, puisqu'il n'y a pas de commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée. Soit d'abord

^m J--.Q^ ^y ^Wl---J^

Nous pouvons représenter i par une expression de la

forme cosz -4- \/ — i sin^, dont nous savons qu'il est facile d'extraire la racine. Il suffit dé poser z = 2w7r, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif; et l'on aura identiquement

I = co$2^7r -h y — I sin2/i7r.

Donc l'expression

(i) cos h V —

^mt I . 2, ni:

I sin

donne des racines w'*'"" de i , et, par conséquent, des valeurs de X pour toute valeur entière de ».

Or on reconnaît immédiatement que l'expression (i) ne change pas quand on augmente ou qu'on diminue n de m ou d'un multiple entier quelconque de m. Il suffit donc , 2« édit. 23

dans la série indéfinie des nombres entiers positifs ou négatifs, d^en prendre m consécutifs quelconques; ils donneront toutes les valeurs de l^expression (i). Déplus, il est facile de voir qu'elles seront toutes différentes, parce que deux de ces arcs ne peuvent avoir le même sinus et le même cosinus; donc toutes les racines de Téquation

j7« — 1 = seront données par la formule