Si Ton considère en particulier les fonctions
«"•, logâ:, «', sinx, 005:1:, on trouvera
d^x^:=m{m — i). . .(/w — !-w-f- i)x^^'^dx^y
dx'* d" log j? = ± 1 . 2 . 3 .*. . (/? — I ) log e — î
d''a'z=a'\''adx'*^ </" sinar = sin ( or H- « - J ûtr ",
c?" cos J? =:r ces ( JC -i- /l- I ^" ;
et il est bon de se rappeler que le second, membre donne la valeur de la différence infinhnent petite de l'ordre n y à une quantité près, infiniment petite par rapport à cette différence.
6o COURS, d'analysk.
Différentielles, dérivées, et différences partielles des divers ordres,, des fonctions de plusieurs variables indépendantes. Différences et différentielles totales.
55. Une fonction de deux variables indépendantes , x et j^, petit être différentiée successivement par rapport à chacune d'elles partiellement , et Ton peut supposer que ces différentiations soient en nombre quelconque .et se succèdent d'une manière quelconque. Le nombre de ces différentiations constitue V ordre de la différentielle, de la différence ou de la dérivée. Il n'y a rien de nouveau à dire sur leur formation , puisque l'on n*'a à considérer à chaque opération qu'une seule variable indépendante. Les dérivées partielles d'ordre quelconque s'exprimeront au moyen des différentielles correspondantes d'une manière entièrement semblable à celle que nous, avons trouvée pour les fonctions d'une seule variable. Elles ont aussi les mêmes rapports a^ec les différences partielles correspondantes; et la* reproduction identique des raisonne-' ments déjà faits dans le cas ou l'on considère toujours la même variable, conduit immédiatement à ces conséquences. Nous ne croyons cependant pas inutile de donner quelques développements à ce sujet.
Désignons généralement par F'"'*""'^^**'(jc, r) le résultat
de m dérivations partielles effectuées par rapport à x sur la fonction u= F (^57) ? suivies de n dérivations partielles du résultat par rapport Sij\ lesquelles seront elles-mêmes suivies de p dérivations par rapport à x^ et ainsi de suite.
Désignons de même par J""*^"^^*" M le résultat obtenu
^ '■ x,jr,x»».
en prenant d'abord la différentielle partielle de Tordre m de u par rapport à x^ puis la différentielle partielle de l'ordre n par rapport h y de l'expression obtenue, et ainsi
PRKMIÈRK PARTIE. 6l
de suite. Et enfin représentons par ^'"'^"•^''* -^ [^ résultat
obtenu en prenant d'une manière analogue les différences au lieii des différentielles. Cela posé, on aura d'aiord , d'après ce que* Ton a vu en traitant les fonctions d'une seule variable, et faisant usage des notations que nous venons d'indiquer,
Considérant maintenant j^ comme la seule variable, et prenant la différentielle «"''"' des deux membres , on aura , de la même manière ,
d II =¥ (X, yjdx'^dx";
prenant maintenant la différentielle partielle d'ordre p ' par rapport à x, et continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra
d^^ =F (x, r)djc'"dr"dxP.,.,
x,jr,x,t, z, /, ar. .. v ' •' / ^ '
ou
dx^ dy"^ dxP . . . x,j,x,.. \ ^Jr
Les dérivées partielles s'expriment donc au moyen des différentielles partielles correspondantes d'une manière analogue à celle qui se rapporte aux fonctions d'une seule variable.
S6. Il y a encore évidemment le même rapport entre ces dérivées et ces différences partielles correspondantes. En effet, on aura d'abord, d'après ce qui a été démontré pour les fonctions d'une seule variable,
ÈkX
-„ = Fx(^> y) + ".
