I ) TT / . . ( 2« -I- I ) TT

X r= cos i 1- V — 'SI" — 5

il suffira encore de prendre m valeurs consécutives de n , parce qu'elles correspondront toutes à des sinus ou cosinus différents, et toutes les autres valeurs de n fourniraient les mêmes valeurs pour x. Toutes les racines de l'équation

JC'"-|- l =0

sont donc données par la formule

(2rt -h ^)'^ X. I . (2/ï -f- l)7r

x = cos ^ — ± V — ï sin ^ — 1

en donnant à n des valeurs positives depuis zéro jusqu'à ce qu'il en résulte m valeurs pour le second membre. Si m = 2k^ les valeurs de n seront o, i , 2,...^ A — i , les valeurs de x seront toutes imaginaires, conjuguées et réciproques. Si w = 2^ -H i , les valeurs de n seront o, I, 2,..., fc, la dernière donnera x = — i; toutes les autre$ valeurs de x seront conjuguées et réciproques.

Les racines de =b i étant connues , on aura celles de =i: A en les multipliant par la racine arithmétique de A.

Les facteurs réels du premier et du second degré , dan? lesquels peuvent se décomposer les binômes x"' — i et .r"*-l- I, peuvent être représentés par une construction fort simple , qui dépend de la division du cercle en parties égales , et qui a été donnée par le géomètre anglais Cotes.

345. Cherchons maintenant à extraire la racine m'^""' d'une expression de la forme

Nous pouvons la mettre sous la forme

p (coszzh v/— 1 sinz),

356 CUURS D^RALYSE.

en déterminant p et z par les deux équations

pcos2 = a, psinz=:^;

d'où

Pour plus de commodité, nous ne prendrons que la valeur positive de p. Désignons par (f le plus petit arc positif

ayant pour cosinus ~ et pour sinus - \ on pourra , sans

que ces /ignés changent, l'augmenter d'un nombre quelconque de circonférences , et Ton aura

a± b^ — I =p[cos(f ~|-2/iîr)db^ — I sin(y -h 2/f7r)].

On aura des racines m''''*^' de cette expression en prenant la racine m'^'^ arithmétique de |0, et la multipliant par la racine du second facteur, que l'on obtiendra par la division de Tare; on a ainsi

^ / • -h 2/i7r . , . 9 -4- 2/Mr \

Il suffit évidemment de donner k n^ m valeurs consécutives, positives ou négatives; toutes les autres donneraient les mêmes résultats. De plus, ces m valeurs de n donnent des valeurs différentes pour les sinus ou cosinus de ; donc, en donnant à n les valeurs

o, I, 2,... m — I, toutes les valeurs de la racine cherchée seront données par la formule

I sm ^

les signes supérieurs de V^ — i se correspondant, ainsi que les inférieurs.

l'RLMlitU: PARTIE. 35'J