La transformation de a ± b sj — t en

p(oos2 ±: ^ — 1 sin^) ramène toutes les opérations sur les quantités imaginaires aux opérations sur des expressions de la forme co^z ±sl — i siti>z, et nous avons vu que celles-ci se ramenaient toutes aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs , propriétés tout à fait analogues à celles des exponentielles.

Cette analogie sera encore augmentée par les considérations suivantes.

Représentation des sinus et cosinus par des exponentielles imaginaires,

347. Si dans le développement de e^ on change x en X ^ — 1 , et qu'on représente la série résultante par e' *^~*, on aura

(i) 6'-V-' = 1 ^xs^^ I ^-^^-h ^-7 -

Si Ton convient de même de désigner par e""""^'* le résultat de la substitution de — ;r v'^ — 1 à a: dans le développement de e^^j on aura

Ces équations peuvent être écrites comme il suit :

!^,jry— I __ ^Qg^ ^ j — ^ sin JT, c ^^ ' = cosj; — y — i sino;; d'où Ton lire

COSJF = >

smA' = -. ' î

358 GOUBS D*ANALYSE.

et dans toutes ces formules il ne faut pas oublier que

e* *^* et e"'^^ n'ont aucun sens comme exponentielles : elles ne représentent autre chose que les séries qu'on

obtient en substituant -hx^ — i et — x V — i dans le

développement de e', et traitant V — ^ de la manière convenue.

348. Il est facile de démontrer que ces exponentielles imaginaires doivent être traitées d'après les mêmes règles que si les exposants étaient réels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier

c'*^ par e-''*^, en entendant toujours par là les séries qui représentent ces expressions, et qui peuvent être remplacées par cosx ■^- ^ — i sinx et cosy -h ^ — i sinj^,

dont le produit est cos (x -\- y) -H V — i sî^ (^ "^j)- Cette dernière expression est représentée , dans le même

sens , par e^**-^^ ^^^ ; donc on peut poser

La règle des exposants réels s'observe donc dans la multiplication des exponentielles imaginaires, et, par suite, dans leur division, dans leur élévation à des puissances, et dans l'extraction de leurs racines.

On pourrait encore déduire cette proposition de ce que e"^^ étant égal à e' e-^ pour toutes les valeurs réelles de X et/, on a identiquement