De r ordre dans lequel se succèdent les differen

PRF.MrKRR PARTIE. 63

tiatîons, -r-Si Ton prend les diiférences successiyes d'une fonction par rapport aux diverses variaBles indépendantes • qu'elle renferme ^ on arrivera toujours au même résultat, dans quelque ordre qu'on effectue ces opérations , pourvu qu'on ne change pas le nombre de celles qui doivent être . faites respectivement par rapport à chaque variabje.

Soient, en effet, X et j^deux des variables dont dépend une fonction m.

Si Ton change d'abord x en x -f- Ax, u devient

si dans cette expression on change y en y -{- Ay, elle devient

et Ton a ainsi ce que devient u quand xety sont changés en a: -f- Ax, y .-+- Aj.

Or, en faisant les substitutions en sens inverse, on aura

et ce résultat doit être identique au précédent, puisqu'il exprime toujours la fonction u dans laquelle x et ;^ sont changés en a: -h Ax, y ■+- A^.

Donc on a identiquement

Si maintenant on divise les deux membres par Ax, Ar et qu'on passe aux limites, en faisant tendre Ao: et Ay vers zéro , on en conclura , par ce qui précède ,

et par conséquent

^i/" = ^},xU,

Si l'on prend successivement un nombre quelconque de différences, de différentielles, ou de dérivées partielles,

il est facile de voir que l'ordre dans lequel on les prendra est complètement indiffèrent. En effet, deux de ces opérations successives pouvant être changées d'ordre, on pourra faire arriver au premier rang celle que Ton voudra , en la faisant avancer successivement d'un rang vers le commencement; on amènera ensuite au second rang •celle que l'on voudra des autres , et enfin on les placera toutes dans un ordre quelconque, sans que le résultat cesse d'être identiquement le même.

D'après cela , on pourra supposer que toutes les dilFérentiations par rapport à la même variable soient faites consécutivement, et les notations précédentes seront simplifiées , en ce qu'elles ne renfermeront qu'une seule indication pour chaque variable: et c'est ce que nous ferons dorénavant.

On simplifie encore l'expression des dérivées partielles

ra-f-n ^m-h/i^ .cl II

en écrivant , ^ , - au lieu de ,''J, — ? parce que les exposa: "r/j" dx"'dy'' ^ ^ ^

sants de dx et de dy suffisent pour indiquer le nombre des differentiations effectuées par rapport à chacune des variables a: elj^.

Mais si , pour avoir la différentielle partielle correspondapte, on faisait la multiplication par <ix'"rf^" en supprimant le dénominateur, on obtiendrait c?'"+"w, expression qui ne renfermerait plus aucune trace des differentiations effectuées. On est donc obligé, pour que la notation ait un sens déterminé, de conserver le dénominateur, et d'écrire ainsi cette diirérentiellc

Elle serait représentée beaucoup plus simplement par la notation, déjà employée, d'^'^^'u

PRKMIÈRF. PARTIE. 65

Le système de notation de Lagrange s'applique aux fonctions de plusieurs variables 5 mais nous n'en parlerons pas , vu que les géomètres n'en font pas usage. La notation de Leibnitz a prévalu, parce qu'elle a surtout le grand avantage de mettre en évidence les différences infiniment petites , dont la considération est si utile dans toutes les recherches qui dépendent des mathématiques.

Différentielles totales des fonctions de variables

indépendantes,

58. Soit u = F(x^ y) ^ x et y étant indépendantes -, nous avons vu précédemment que Ton avait

du du

Au = -T- Aa: -h -7- Ar -f- w , dx HT

(ù étant infiniment petit par rapport à Aor, Ay^ Au , quand Ar et Ay tendent vers zéro.

La somme des deux premiers termes jouit donc\ par rapport à l'accroissement total Au , de cette propriété remarquable , d'être égale à la différence elle-même , à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence. D'après cela , l'analogie nous conduit à donner le nom de différentielle totale de u à l'expression suivante :

du , du ,

dx et dy étant des quantités indéterminées et indépendantes que nous nommerons les différentielles Aq x ely. Elle jouit de la propriété que, lorsque dx el dy seront considérés comme les accroissements infiniment petits donnés à x ety, elle pourra être prise pour l'accroissement total de u, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement; et, par conséquent, 2« edit . 5

, on peut dire encore , comme dans le cas d'une seule variable indépendante , que les différentielles dx^ dy, dz

' sont des quantités dont les rapports sont les limites des rapports des différences correspondantes Ax, Ay, Az en prenant les différentielles des variables indépendantes égales à leurs différences.

Nous désignerons cette différentielle totale par du^ et il faudra bien la distinguer des du partiels qui se trouvent dans le second membre, et sont différents Tun de l'autre. Pour éviter toute confusion, on devra se garder de supprimer les facteurs communs dx ou dy^ et écrire

On peut encore écrire

du = dx u -^ dj. u.

Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque de variables indépendantes, et ta différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes sera toujours la somme de ses différentielles partielles relatis^es à chacune de ces variables.

Cherchons maintenant 1 expression des différentielles successives de u. Et pour cela remarquons d'abord que la

d'^'^Pu différentielle de sera , par la règle qui vient d'être

démontrée ,

rtx -4- dv :

dx'^^'dyP dx^djP^' -^ '

elle se formerait donc en multipliant par -r-dx + -r dy

^ '■ dx dy ^

d'*^Pu l'expression proposée , pourvu qu'on y considérât

l'indice du numérateur comme un exposant, et qu'après la multiplication on changeât l'exposant des numérateurs

PREMIKRE PARTIE. 6^

en indices de différenliation. D'après cela, si Ton part de la formule (i) , la différentielle du second membre s'obtiendra en le multipliant par -r^-^-f <^9 ^'^ faisant le

changement des exposants en indices. Il en sera de même pour la différentielle de ce résultat *, et , par conséquent , en désignant par d"*u la différentielle totale de Tordre m de u , on aura la formule symbolique

(du ■ du ^ X*»

en entendant toujours que les exposants des du dans le second membre seront changés en indices de^différentiations.

Comparons maintenant d'^'u à la différence totale ÙT'u,

Reprenons pour cela la formule

du du

dans laquelle nous supposons Ax et Ay- infiniment petits, et donnons h x el y les mêmes accroissements

Ar, A^^ L'accroissement de — calculé semblablement

s'obtiendrait en multipliant — par — Ax -h -^ A^, et

ajoutant une quantité infiniment petite par rapport à Aa: et ày^ il en serait de même pour l'accroissement de

du f^ 1. . ^1 du . du -

— De sorte que 1 accroissement de -j- Ax -}- --- Ar sera

dy dx dy ^

représenté symboliquement par le carré de cette expression , dans lequel on changera les exposants de du en indices, plus une quantité infiniment petite par rapport aux quantités Aj:^, Aa:Aj, Aj^. Or nous savons que o) se compose de termes qui ont en facteurs , les uns A;r, les autres A^, et en outre d'autres facteurs qui devien-

(^g COURS d'analyse.

neiit nuls avec Ax, et Aj ainsi que leurs dérivées; d'où il suit que l'accroissement de w sera infiniment petit par rapport aux mêmes quantités Ax\ AxAy, Aj\ On a donc la formule symbolique

/du du \ , /

w' étant infiniment petit par rapport aux quantités Ax% Aa;Ar, Ay*. En continuant ainsi on parviendrait sans difficulté i quel que fût le nombre des variables, à la formule symbolique générale

/du . du X" ^ .A''«=(^^^r + ^Arj +0,,

w étant infiniment petit par rapport au produit de m facteurs Aa: ou A/.

On a donc aussi cette autre proposition générale : La différentielle totale de l'ordre m d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes dans laquelle on prend dx, dj, etc., égaux aux accroissements infiniment petits de ces variables, ne diffère de la différence m'^"" correspondante, que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même.

59. Remarque générale. — Lorsque l'on cherchera une équation entre des différentielles d'ordre quelconque de fonctions quelconques, et que, pour y parvenir, il sera avantageux de considérer d'abord des différences infiniment petites, on pourra substituer les différentielles aux différences correspondantes, et négliger toute quantité infiniment petite par rapport à ceUes entre lesquelles on cherche la relation. Car si l'on divisait l'équation exacte par une des différences , élevée à une puissance convenable, et qu'on passât à la limite, les rapports des différences seraient remplacés par ceux des différentielles , et

PREMIÈBE PARTIE. Go

Ton aurait réquation même à laquelle on serait parvenu en négligeant des quantités nécessaires pour l'exactitude de l'équation entre les différences, mais qui disparaissent de l'équation exacte entre les différentielles, considérées comme des quantités infiniment petites ou finies.

Différentielles totales des divers ordres des fonctions de plusieurs vanables dépendantes,

60. Si les variables jc et j^, qui entrent dans la fonction M, étaient elles-mêmes des fonctions de variables indépendantes, les différentielles totales de u changeraient toutes de forme, excepté celle du premier ordre, parce que les facteurs ctr, dy ne seraient plus constants.

Ainsi , la différentielle première de u aurait toujours

pour expression

du du

du = -r- dût -i — — dy, djo ^X

Mais, en différentiant cette expression, il s'introduirait

les termes

du ,, du ,,

dx ^ dy •^'

et l'on formerait ^'x, d^y en fonction des variables indépendantes et de leurs différentielles d'après les formules précédentes. On aurait ainsi

d'^u . d'^u . . d^u , , fl?a ,, du „

cùr* djcdjr dj^ dx dy ^

et d^u jouira, par rapport à A*m, de la propriété qui a été démontrée indépendamment de la forme qui pourrait résulter de variables intermédiaires entre u et les variablés indépendantes.

On trouverait de même les différentielles totales des ordres suivants , et pour un nombre quelconque de va-

'JO cou AS U ANALYSE.

riables , supposées dépendantes d'autres quelconques. Si parmi ces variables , les unes étaient dépendantes et les autres indépendantes , il suffirait de supposer nulles les difierentielles de ces dernières qui passeraient le premier ordre.

61 . Cas particulier oà x et y sont des fonctions linéaires. — Si a: et j^ étaient des fonctions linéaires des variables indépendantes, dx et dj seraient constants, quelles que fussent les valeurs des variables-, on aurait donc

et, par conséquent, on retrouverait la formule symbolique

/du , du , \'^

qui s'étendrait à un nombre quelconque de variables.

Différentielles des divers ordres des fonctions implicites.

62. Supposons d'abord la fonction implicite u dépendante des variables x^ y^ et déterminée par une équation unique

F(x, jTy w)==o;

nous aurons d'abord

dF ^ d¥ ^ d¥ , dx dr du

d'où l'on tirerait du^ conmie nous l'avons déjà vu.

DifTérentiant encore cette équation par rapport à toutes les variables, et observant que du n'est pas constant, il vient

^.^^^jr^,^^^^du^^^-^~d.dr

-H 3 - — — ajcdu -h 2 - — — dydu -\ d^u = o

dcdu dydu " du

PRËMIKEE PAET1£. H I

d'où Ton tirerait d^u^ et ainsi de suite. On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Si u ne dépendait que d'une variable x, cette équation se réduirait à

d^Y , ^'F , , d'¥ , dY ,

-TL — dx^ -f- 2 -; — ;- dxdii H ; — du^ -\- --- d'^u = o.

dx^ dxdu du* du

63. Si l'on avait deux équations , il y aurait deux variables, fonctions de toutes les autres; e{, dans ce cas, on différent! erait successivement chacune des équations, en distinguant bien les variables dépendantes des indépendantes : on déterminerait ainsi les différentielles secondes, troisièmes, etc., des deux fonctions ; et l'on agirait de la même manière dans le cas d'un nombre quelconque d'équations.

Soient, par exemple, les deux équations

^ et M sont des fonctions de la variable indépendante x. On aura d'abord les deux équations

dY , dY ^ dY ^

— — dx -f- --— dy H — r~ du-=: o.

dx dy du

df , • df ^ df ^

~- dx -h ~- dy -h -,- du = o ;

dx dy du

d'où l'on tirera dj et du. En difierentiant ces deux équations , on obtiendra

^'F , , rf^F , d'¥ ^ , ^'F ^ ^ ^'F ^ ^

- — dx^ -h-T-r^r H — TT^" ■i-2'-—--dxdy -h 2 -p— - dxdu dx^ dy^' ^ du^ dxdy ^ dxdu

^*F , , rfF ^, d¥ ^,

-h 2 -J--7- dydu -H— -rf'^-h-7-«'a = o, dydu dy du

(l'if flif flif (l'if d'if