Ht- rtV r/« -+- -^ ^/ '/ -f- ^ ^/ ' w = o , dydu dy du

d'où l'on tirerait d^u et d^j-^ puisque dj et du sont connus. On obtiendrait ainsi les différentielles de tous les ordres , de r et w.

Changement de variables.

64. Cas d'une seule variable indépendante, — Nous considérerons d'abord les fonctions d'une seule variable indépendante^ et l'objet que nous allons nous proposer est d'exprimer toutes les dérivées d'une fonction y par rapport à une variable x dont elle dépend , au moyen des dérivées successives d'une autre fonction u par rapport à une variable t^ regardée comme indépendante.

Toutes les quantités dépendent d'une seule variable : ainsi l'on a trois équations entre x, y^u^ i\ ou deux seulement, en laissant de côté celle qui exprimera la relation entre x el y. On voit qu'en vertu de ces trois équations, on peut considérer u comme une fonction de f , et ce sont les dérivées de u par rapport à t que l'on veut faire entrer dans des calculs où entreraient les dérivées de y par rapport à X.

Pour cela nous allons d'abord exprimer les dérivées de y par rapport à a:, en fonction des dérivées de a: et ^ par rapport à la même variable indépendante t dont elles seraient fonctions. Ces formules seront les mêmes, quelle que soit la forme particulière , tant de l'équation entre x ely que de celle qui doit lier x ely avec t. Nous montrerons ensuite comment les dérivées de x et y par rapport à t peuvent s'exprimer au moyen de celles que l'on veut introduire , qui sont celles de u par rapport à t. Ce dernier calcul dépend des équations qui lient x el y avec f et M , et peut-être encore avec d'autres variables ; et le nombre des équations doit toujours être tel , qu'il n'y ait qu'une seule variable indépendante, comme nous l'avons supposé.