PREMIÈRE PARTIE
65. Pour exprimer les dérivées de y par rapport à a: au moyen de celles de x et j^ par rapport à f , nous observerons que, d'après le principe des fonctions de fonc-
tions, on a
dy dy dt di=Tt-T.' ou, puisque
dt I
dx dx Tt
dy dt
dx dx
Yt
Passons maintenant à l'expression de -t^' Nous différen-
tierons pour cela les deux membres de cette équation par rapport à x\ mais, afin de n'introduire dans le second membre que des dérivées par rapport à t , nous le différentierons d'abord par rapport à f , puis nous multîplie-
dt • • dx
rons par -r-? ou nous diviserons par -r Nous obtien- '^ dx ^ dt
drons ainsi
d^y dx d^x dy
d^y It^ dt ~" 'dF dt
ldx^~' Tdxy
[Tt)
d^y De même, pour obtenir -j^? nous différen lierons le se-
dx
cond membre par rapport à f , puis nous diviserons par — •
Et en continuant ainsi , il est clair que l'on aura l'expression de toutes les dérivées de y par rapport à x, au moyen de celles de x et j^ par rapport à une variable quelconque f , dont x et y seraient dépendants.
On peut , au lieu des dérivées de x eX y par rapport à t^ introduire leurs différcntiolles 5 il suffira de suppri-
74 couKs d'analyse.
mer le diviseur dt ^ et il viendra
^ '/ d^ydx — d ^xdjr
dx^ dx^
Ces premières formules se rapportent au changement de la variable indépendante seulement.
66. Si l'on suppose que la variable t soit la fonction j elle-même , on aura les dérivées de j par rapport à or, exprimées au moyen de celles de x par rapport à j^, quelle que soit d'ailleurs la relation entre x el y. Ces formules
seront
(Ox dy i d'^y dj"^
dx dx dx^ (dx\^
dy \^)
67. Considérons maintenant le cas général où Ton aurait entre m variables a:, j',..., z«, t, les m — 2 équations
sans compter Féquation qui donne jj^ en fonction de x. Si l'on différentie ces m — 2 équations par rapport à f , on
dx dy ^ . ^ du , ,
pourra exprimer — ? — en fonction de — ? par la reso-
lution d'équations du premier degré.
Différentiant de nouveau ces équations , on introduira
les dérivées secondes par rapport à t, et il y restera des
dérivées premières que Ton pourra remplacer par leurs
valeurs tirées des premières équations. On pourra donc
encore, par la résolution d'équations du premier degré,
T , T d^x d^Y , d^u du
tirer Jes valeurs de —, — 9 -r^ au moyen de -7-- et --•
de"" dt^ -^ dt^ dt
En continuant ainsi , toutes les dérivées de x et de }
par rapport à t seront exprimées aji moyen de celles de u
PREMIÈRE PAUTIK. ^5
par rapport à f 5 et comme nous avons donné les formules
générales qui expriment --5 -r-~-9 etc., au moyen de
ujc d^jc dv d^ Y
-rt -TT-j etc. , -T-9 -7—5 etc. , il s'ensuit que Ton connaî-
dt dt^ ' dt dt^ ' ^
^y ^^y ^ du d^u . / . 1» 1
Ira— 9 ;7-7'"* aumoyende — 9 -7-;- v> ce qui était 1 objet de la question.
68. Si, au lieu d'équations finies, on avait des équations différentielles, il faudrait toujours chercher à en
djc d^x dY d^ Y
déduire -r- 9 -7-, 9 etc., —^ ~-j etc., au moyen de dt dO ' dt dt* ^
du d^u ^ ,, . . . j 1
— t —5 etc., et Ion agirait ensuite comme dans le cas
précédent.
Supposons , par exemple , Téquation
dY d* Y et proposons- nous d'exprimer —? -7-4 ? au moyen de
— 9 -rj9 etc. La question se réduit ici à exprimer
djr d^Y , dx d^x
—r') -TT-) etc., au moyen de -7-5 -^r» etc.
dt dt* ' «^ dt dt*
Or on aura d'abord
dy / dx"^
dt V dt'
Pour avoir "T^j on différentiera l'équation donnée, et il
dt viendra
dx d ^x dy tP y dt dt^ dt dt^' ~~
COURS d'analysf.
dx d'^x
dx cfx
d^X dt df"
dt do
dO dy
1 dx*
dt '
y' dt'
Une nouvelle différentiation ferait connaître -rr» et
, , , ^- ainsi dt^
de suite.
Ce cas est celui où l'on déterminera une courbe par une équation entre l'arc et l'abscisse.
69. Cas de plusieurs ^variables indépendantes. — Considérons maintenant une fonction z de deux variables indépendantes x, j. Sa forme n'est pas connue, et l'on ne doit pas avoir besoin d'en faire usage ^ mais on doit toujours raisonner dans l'hypothèse qu'elle existe.
La question que nous nous proposons est de déterminer les dérivées partielles de tous les ordres , de z par rapport à a: et j, au moyen de celles d'une autre fonction rpar rapport à deux autres variables indépendantes (f et 6 , en supposant qu'il existe trois équations entre x^y^ z, /', <j>, 6, savoir,
(i) 1 ^('^' •^' ^> ®' ?j'') = o» ï'iC^» r» 2» ^^ rjzzio, I Fj(a?, r, 25, 0, <p, r) = o,
de sorte que quatre quelconques de ces six variables peuvent être regardées comme fonctions des deux autres qui seront entièrement arbitraires.
Cela posé, différentions successivement r par rapport à chacune des variables x etj^, la seconde étant supposée constante \ et considérons r comme dépendant de 9 et (p , qui eux-mêmes dépendent de x et j". Nous aurons ainsi
dr dr dO dr dff dr dr dB dr dff
dx dB dx d(f dx dy dB dy d(^ dy
