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degré 5 mais on pourrait d'ailleurs les obtenir directement en suivant une marche inverse.
On passera aux dérivées partielles du second ordre en
,.^, . dr dr ,
differentiant —9 -7- par rapport a x ^\.y ; on sera ramené
à diflférentier —9 — par rapport à :r et j, et on les traitera comme on a traité r, ce qui introduira les dérivées du second ordre de r par rapport à ô et y.
H 8 COURS d'analyse.
Un aura en outre a dnierenlier ^-? --? -7-5 -~5 ce
ax dx dy dy
qui introduira les dérivées partielles du second ordre de z
par rapport à jt et j^, dont on aura ainsi les valeurs.
11 est facile de voir que cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables indépendantes , et s'étend aux dérivées de tous les ordres.
70. Nous examinerons, en particulier, le cas d'une fonction u de trois variables indépendantes x^ y^j z^ qui doivent être remplacées par trois autres variables indépendantes r, y, 0, liées h x^ y^ z par trois équations connues; dans ce cas, il s'agira d'exprimer toujours les dérivées partielles de u par rapport à x, y , -z , au moyen de ses dérivées partielles par rapport à r, y, 0. Ce problème renferme celui de la transformation des coordonnées dans des équations aux différentielles partielles où la variable principale est une fonction de trois coordonnées.
Considérons u comme fonction de 0, (p, r, et ces dernières comme fonctions de x^ j^ z\ et différentions u partiellement par rapport à x, j^, ^ , nous aurons
du dudO du do dudr
dx dQ dx d<f dx dr dx
.du dudO du drf dudr
^ dy dQ dy d(f dy dr dy
du du nO dud<f dudr
dz dQ dz c/<p dz dr dz
Or, au moyen des trois équations entre .r, y^ -z , 0, ç, /', on peut déterminer les dérivées partielles
dQ
dQ
dQ
rly
dr
dr
dr
dr
dy'
dz'
dx
dz
dx'
dy'
dz'
et, par conséquent, les équations (3) donnent les valeurs des dérivées partielles de la fonction u par rapport à
PREMIKRE PARTJK. <^Q
x, y^ z , au moyen de celles de la même fonction par rapport à 0, <p, r.
La résolution de ces trois équations ferait connaître
du du du , du du du
—i -7-) — au moyen de — 5 — ? — -, mais on pourrait
les trouver directement par une marche inverse de la précédente.
En différentiant les équations (3) successivement par rapport k x^y^ z^ on exprimerait les dérivées du second ordre par rapport aux variables indépendantes d'un des systèmes, au moyen des dérivées du second ordre par rapport aux variables de l'autre •, et l'on continuerait ainsi indéfiniment.
Ainsi, par exemple, en différentiant — par rapport
à x, on serait ramené à former les dérivées partielles de
du du du , , 1* /. .
^' T"' T" P^^ rapport a j?, et c est ce que Ion ferait
du du du • jî 1 1 . ^
en traitant —-, --9 -r-t comme on avait cl abord traite m, d^ ' r/9 dr '
ce qui introduirait les dérivées du second ordre de m par
rapport à 0, qp, /', tout le reste étant connu.
71. Appliquons ce procédé à une transformation qui se présente souvent dans les questions de mécanique et de physique mathématique.
Soient oc^ j^ z les coordonnées rectangles d'un point, et r, , if ses coordonnées polaires , de sorte qu'on ait entre ces six variables les trois équations
z = rcos5', j = rsinO sinij^, x = rsinÔ cosi|/,
on trouvera , au moyen de la méthode que nous venons d'exposer,
du du , ' , r/«cos6cos-Jy du sin-it = -T-sinôcos>l -f-
dx dr ' dQ r d^ /sinô
du dy
du di
dxdjr
du , . , ^/«cosôsinAÎ' du cos'^
-— sinôsinrp+ -— J~3T"~^~^'
dr ^ dB r d^rsmB
du dusinO
:— -COSÔ zT- î
dr dQ r
d^u . , d'^u cos' ô sin >L cos^!/ d^u sin \1; cos ^ -— sîn'Osin^pcosi^-f--^ ; -rp. - . ,.
r/'« sinGcos9sin^pcos^p e/^a /cos'4' — sin'\p' ^e/erfr r d^dr \ r
d '« (cos ' 1^ — sin * >p) cos ô ^w'sin ' ô sin >[; cos ^j; d^dB r'sinô «^/-j r
rf/f /sin * \j; — cos ' >|/^
e/acos9sin\|/cos-d» / . ^ i \ . du /sin^^— ?r r^ ^r^sin0-h-r-r)-}-:7rl 7-:
sm'ô
/i'^i* r/'tt . . flf'asmôcosGcos^
- — - = "TT-sm 9 cos 9 cos^p
dxdz dr^
dB' r^
d'^u (cos '9 — sin '9) cos -.1* d^u sin} cos 9 d^ u sin^p dBdr r d-^dr rsin9 dBd-^ r'
du {siïi^B — cos '9) cos ^]; du sin9cos9cos\{/ ^ r^ dr r
d^u . . . rf*a sin9 cosGsini;
-— sm9 cos9sln^^ — — ^
dr^ dO^ r^
d^u [cos'^B — sin'9)sin^(; d^u cos ^^ cos 9 d^u cos-} dBdr r d^dr rsin9 dBd^ r'
du (sin ' 9 — cos ' 9) sin •} du sin 9 cos 9 sin ^ dB r' dr r
d'u d^u , ^ . r/2« cos'9cos='J/ û?'tt sin'i}/
r^=5r^ sm'9cos'^-H^ — ;:r— +51^-,":^-^
d^u dydz
d^u sin 9 cos cos H 2-__ 1 — 2
€/■}' r*sin»9
r/^a sinAJ/cos-} û^tJ»^/* r
d ^u sin ^ cos •} r/w cos' 9 cos^ ^} -h sin ' ;}
^tt ^ /si
sin^:^ — 2sin'9cos'\^\ //asih\|ycos>l/
r'sinG / "^ ^^ r»sin'9 '
PREMIKKK PARTIE. 8l
r/'a sin0cos0sin = ^^ d^u siii-i/cos^t
d^u sin ^^ cosJ; r/a /cos^ sin' ^I/ -h cos' -^^
r/Ô^-J; rUangô ^r \ r
»in'^\ du sin\{y (
/ d'^ r'sii
^// ^ /cos^'J/ — 2 sin' Ô sin' ^\ rf« sin\!y cos4^
