APPLICATI03VS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

72. Détermination des valeurs particulières des Jonctions qui se présentent sous les forâmes |, ^, oo X o, jQO ^ 00»^ o°. Lorsqu'une fonction est le quotient de deux autres fonctions de x^ et qu'une valeur particulière de x rend ces deux dernières nulles ou infinies , la valeur de la première se présente sous la forme J ou ^ , et , dans ce

cas , on peut se proposer de déterminer la valeur vers laquelle converge la fraction donnée, lorsque a: tend vers cette valeur particulière 5 c'est cette valeur limite, que Ton désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la fraction, qui se présente sous la forme indéterminée | ou 52-,

F (x) Cherchons d'abord la limite de -pj-^ lorsque x tend

vers une valeur Xo telle que l'on ait F (xo) =o^f(xo) = o. Soit/{ une quantité tendant vers zéro, on aura, d'après Iç n" (45) ,

a* édil. 6

82 COURS iï'analysk.

donc

lorsque x tend vers Xq-, et, par conséquent, si F' {x^ et /'(xo) ne sont ni nuls ni infinis, la limite cherchée sera

Si l'on avait encore F' [x^] = o^f (j^o) = o, la limite de

~-T serait la même que celle de ^,,] ,S et ainsi de suite.

Si donc toutes les dérivées, jusqu'à Tordre n exclusivement, deviennent nulles pour x = a:o, la limite cher-

chée sera celle de jq-^ ^ et si F" [x^) etf'' (jto) ne sont ni

nulles ni infinies, on aura, pour valeur de cette limite,

Si Tune de ces dernières dérivées est encore nulle, la limite sera o si c'est F"(j:o) qui est nulle, et la fonction croîtra sans limite si c'esty*" (jeTo) .