Supposons maintenant F(jCo) = oo , /[Xi^] = oo

d'où =7— x = o, 79^-r = o; on aura identiquement

F (a?o -h h) ___ f{x. H- h) f[x, -4- QA)' /(xo 4- /*) 1 "" F^(:co-4-Q/0 '

F(xo-hA) F(a:o-4-0A)»

d ou , en représentant -j: jr par 9 (A) ,

Or, si -^TT-i ou 9 (A) 5 a une limite finie , <p(9A) aura la

PRRMIKRE PARTIE. 83

même limite, et \,J tendra vers l'uni té; on aura donc

Si, au contraire, l'expression —-^ tend vers o ou oo , elle

finira , en général , par varier constamment dans le même

sens , à mesure que x tendra vers x^ : et le facteur -ttt

sera, dans le premier cas, plus petit, et , dans le second ,

F'(x) plus grand que l'unité. Donc ^577-/ devient nul ou infini

en même temps que -—-- 5 et par conséquent, dans tous les

cas, la recherche de la vraie valeur de -—-( se ramène à

celle de 7v4— !'

Si donc F' (xo) elf^(Xo) ne sont ni nuls ni infinis, la limite cherchée sera

Si les dérivées de F (x) , f(x) devenaient infinies jusqu'à un certain ordre , on agirait comme dans le cas précédent. Mais si elles deviennent toutes infinies, cette méthode ne sera plus applicable; et ce qu'il y a souvent de mieux à faire dans ce cas, c'est de remplacer x par XQ-^h et d'effectuer les réductions.

Ainsi soit, par exemple, la fraction

ses deux termes deviennent nuls pour x = Xo, et toutes les

84 COURS i»'anai.ysf..

dérivées deviennent infinies. Mais sî Ton pose a: = .re-+-A, elle devient

1 ou -—

supprimant le facteur commun A% il reste -y

dont la limite est zéro quand h tend vers zéro.

74. La valeur Xo étant arbitraire peut être supposée aussi grande que Ton voudra, et, par conséquent, les règles précédentes s'appliquent au cas où Ton a Xo == 00. Mais la démonstration directe ne pourrait plus se faire de la même manière dans ce cas, et il est bon de Texaminer à part.

Si Ton pose x' = - » on aura

y tendant vers zéro, il n'y aura aucune difficulté, et l'on aura , par la démonstration précédente ,

Hm^M = lim -^IZ = Mm ~^

On aura donc aussi

X croissant indéfiniment.

PRKMIKRF. PARTIE. 85