Considérons maintenant le produit
et supposons
F (xo) = X , /(.ro) = o ;
nous aurons identiquement
F(x) ce qui ramèuc au premier cas ; et l'on trouve alors
Si la seconde expression rentre dans un des cas examinés, on la traitera par les procédés déjà indiqués.
76. On peut encore donner une autre règle pour trouver la limite de la fraction
dans laquelle on suppose x infini.
En effet , A étant une quantité finie quelconque , on a , quel que soit x^
faisant croître x indéfiniment, le second membre tend
vers F'( 00 ) , qui est la limite de la fraction — ^ ? d'après une des règles précédentes. Donc
et si 5 pour plus de simplicité, on fait li-=.\ ^ li,n IM = lim [F(^' -4- f) - F {x)\.
Ce théorème a été démontré d'une autre manière par M, Cauehy, dans son Cours (V Analyse algébrique.
77, Considérons maintenant une expression delà forme
F (a:)/(*) ; son logarithme est
/(ar)logFW,
et rentre dans une expression que nous avons examinée. Si donc on peut déterminer par les règles précédentes la vraie valeur de ce logarithme , dans le cas singulier où les fonctions logF(a:) ^l f{pc) seraient Tune infinie et l'autre nulle, on en conclura immédiatement celle de l'expression proposée.
Examinons en particulier l'expression
F(xr,
dans le cas de x = oo , et supposant F(oo ) = oo. Le logarithme de cette expression est
logF>)
et sa limite est celle de ^ A que Ton peut traiter par les règles précédentes.
Mais si l'on applique à —5 — i—i- la règle particulière du
n^ 76, on trouvera que sa limite est la même que celle de
logF(a:-|- i) — logF(a:), ou log
FW
Donc la limite de F(j:)^ est la même que celle de ■ . . — quand x devient infini. Cette règle avait encore été démontrée par M. Cauehy.
PAEMIÈBF. PARTIE. 87
78. L'application de ces diverses règles conduit à quelques résultats particuliers qui méritent d'être remarqués :
— r=: 00 pour x = 00 si Ton a a > i ,
X log X '0 pour a: = ,
xe^ — 00 pour J7 = ,
x^ I pour X - 00 ,
(Ax'*
-h Bx"-' -+-...-+- U)* X i pour 00
x' I pour X 0, I «
[{.'.osmx)^ I pour .r o,
(1 H- xY = ^ pour X = o.
5ene c/e Taylor pour les fonctions d'une seule
variable.
79. La série que nous allons faire connaître a pour objet de développer une fonction quelconque de la somme ^ X -\-h suivant les puissances entières et positives de l'une des parties, par exemple de h\ elle a été découverte par Taylor, et a conservé le nom de son inventeur. Maclaurin en a déduit une autre qui donne le développement d*unc fonction suivant les puissances de la variable , et qui a été employée avant lui par Stîrling. 11 sufQt, en effet, de faire x=.o dans la première pour obtenir le développement d'une fonction de la variable h suivant les puissances de /i. Cette série de Maclaurin n'est donc qu'un
88 couBS d'analyse.
cas particulier de celle de Taylor, et c'est pour cela qu'on
la désigne ordinairement sous le même nom.
Soit F (j: -f- h) la fonction qu'il s'agit de développer suivant les puissances entières et positives de h.
Commençons par écrire un nombre quelconque n des termes déduits suivant la même loi que si la fonction était entière et rationnelle, et désignons pary(/i) la fonction de X et de h , qui , ajoutée à ces termes , reproduit F (jc -4- A) : nous aurons
Les dérivées des deux membres par rapport à h étant nécessairement identiques, on reconnaît sans peine que / ifi) et ses {n — i) premières dérivées deviennent nulles pour (/i = o) , et que
Donc, d'après une formule démontrée précédemment, on
aura
1 1 Ji » • » fl
et, par suite,
^ ^^ F«- [x) H F" [x -\- Ok),
Cette formule donne la solution de la question , et montre dans quel cas elle est possible. En effet, si l'expression
PREMIKBF. FAUTIF.. 8()
tend vers zéro à mesure que n augmente, F [x 4- A) est la limite de la série
et l'on peut poser la formule suivante, qui est celle de Taylor :
Maïs il faut bien faire attention que, d*après la formule sur laquelle est fondée cette série, elle ne peut être substitué(* à F (a: -1- h) que lorsque F(j^) et toutes ses dérivées sont
continues entre x el x -h A , et que F" (x -i- Qh)
X 9 é& » » » il
tend vers zéro quand n croît indéfiniment.
La fonction F(a:-j-/i) ne peut être développée suivant les puissances de h autrement que par la formule (2) \ car deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une même variable, et dont les sommes sont égales , quelle que soit la valeur de cette variable, sont les mêmes, terme pour terme.
