PREMIÈRE PARTIE. 9I

Supposons, par exemple, que l'on ait

F(^)=/(x)-h(x-.ro) S(*),

m étant un nombre entier positif, et - compris entre o

et I . Si l'on considère pour x la valeur particulière Xq , les dérivées seront finies jusqu'à F"* (xo) inclusivement, en supposant que celles de jf(aN) et <f[x) le soient; mais au delà elles deviendront infinies. Le développement ne devra donc être poussé que jusqu'au terme

pin-i f^^^ ^ç^^^ ^^ plus; et il pourra être

complété au moyen d'un terme renfermant la dérivée suivante.

83. Si, dans la formule (i) , on fait x = o, et quW remplace ensuite la lettre h par la lettre x, on obtient

F(x) = F(o) 4- xF'(o)-+- — F''(o)-f-...

H 7 rF«-(o)H ¥^[(èx).

On peut ainsi développer une fonction de x suivant les puissances de a:, pourvu que cette fonction et ses dérivées jusqu'à l'ordre n soient continues entre o et x. Si, à mesure

fin

que n augmente indéfiniment , l'expression F" (0Jt)

tend' vers zéro , la fonction F [x) pourra être exprimée par la formule

c'est-à-dire que la limite de la somme des termes du second membre est F(x). Cette dernière formule est celle de Maclaurin

ga COURS D ANALYSE.

•Si on Tavail obtenue avant celle de Taylor, on en déduirait celle-ci en considérant F (j? -I- h) comme une» fonction de h et la développant par la formule de Maclaurin .

84. On peut encore développer F (x) d'après la formule de Taylor, on remplaçant x par Xq -f- {x — Xq) ; on trouve ainsi

F(a;) = F(:p.)4-(:p-.ro) F'(x.) -f- ^^^^^F''(x.) -h. . .,

et Ton peut toujours choisir Xq de telle sorte que F (xq) , F'(xo) , etc. , ne soient pas infinies. Mais cela ne suffira pas, et il faudra toujours s'assurer que le reste de la série, dont nous connaissons l'expression, a pour limite o.

85. Enfin la série de Taylor a conduit Bernoulli à une autre forme de développement peu employée. Si l'on y suppose h = — a:, elle devient

F(o) = FW-xF'(.r)-f- —F'{x) ^ F'" (x) 4-. . .,

d'où

Les coefficients des différentes puissances de x sont eux-mêmes des fonctions de X] de sorte que l'on ne trouve pas dans ce développement le principal avantage que Ton cherclie , qui est de remplacer la fonction par un polynôme entier et rationnel. On s'assurerait de son exactitude, comme dans les formules précédentes.

86. Il faut bien se garder de croire que les séries de Taylor ou de Maclaurin puissent être employées toutes les fois qu'elles sont convergentes*, car elles pourraient converger vers d'autres limites que les fonctions qu'elles devraient représenter.

PRf.MIKRF. PARTIE. 98

Ainsi , par exemple , la fonction e ^ devient nulle ainsi

que toutes ses dérivées, pour j:=: o, et cependant elle

n'est pas identiquement nulle. H suit de là que si F (.r)

est une fonction développable par la série de Maclaurin ,

¥ [x) -h e * , développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente , mais qui représentera F (x) , et sera , par conséquent, inexacte.

L'exactitude du développement ne peut jamais être établie que par la considération de l'expression qui en complète la valeur après un nombre quelconque de termes.

87. Autre forme pour le reste, — 11 est quelquefois utile de donner au reste de la série de Taylor une autre forme que nous allons faire connaître.

Considérons d'abord le développement de F [x) ; nous pouvons poser, en remplaçant x par z -h {x — z) ,

Si Ton représente le dernier terme par f{z) , et qu'on différentie les deux membres de l'équation par rapport à z, on obtient, toute réduction faîte,

Cette équation détermine la dérivéey' {z) de la fonction /(«), ou (±IZ^F"[î + 0(.r-8)],

et donne

/' (3) = - ip^-^Y^' p„ ^^y

Q^ COURS d'analyse.

Or on peut exprimer /(r) au moyen de /' (z) par la formule

et l'on peut observer que f(x) = o, pûisqu'en faisant z = x dans la fonction représentée par/'(^) , on trouve identiquement zéro. La dernière équation donne donc

et l'on a ainsi une nouvelle expression du reste de la série qui donne le développement de F (x).

Si l'on suppose z = o , on a le développement de Maclaurin, sous la forme suivante, en faisant i — Ôj = 9 :

F(x) = F(o) -h xF'lo) M- — F''(o) -h. . .

9 étant compris entre o et i .

Dans le développement semblable donné précédemment , le reste est exprimé par

désignant une fraction différente. La nouvelle forme donnée à ce reste est quelquefois plus propre à manifester la convergence de la série vers F {x) .

Si dans la formule (6) on suppose F (x) = f[h 4- x) , on aura

PRF.MIÈRK PAllTIK. g5

OU 5 en changeant les lettres h et x Tune dans l'autre ,

c'est la série de Taylor, le reste étant présenté sous une nouvelle forme.