Soit

F(«) = l(i -hx), F'(x)=(i -h^r',

d'où résulte

F(o)=o, F'(o)=ri, F''(o)=— I,..., F«(o^=tl.2...(/î— II,

et , par conséquent ,

La série serait composée de termes indéfiniment croissants si l'on supposait x'^ i , parce que la limite du rapport

t)6 COURS d'analyse.

d'un terme au précédent est x^ lorsque leurs exposants augmentent indéfiniment {^voir à la fin la Note sur les séries) . Il suffit donc de s'assurer si le reste tend vers zéro (£uand on a a: <^ I ; et pour cela il faut distinguer deux

cas. Si X est positif, on a — <C i ? si a: •<] 1 5 et par

conséquent le reste tend vers zéro, et la série converge vers l(i + x).

Si X est négatif et qu'on le représente par — ^ , le reste

• — jYu ^^ se présente pas sous une forme propre à

faire reconnaître s'il tend vers zéro \ parce que Ton n'aperçoit pas lequel est le plus grand des deux termes de la fraction r- • Mais si l'on prend la seconde forme que nous

avons indiquée pour le reste, on trouvera pour le cas

actuel -— ~ — 9 ou, abstraction faite du siffne,

(1 -f-ôjr)" ' ^ '

Z — — Bz Or la fraction r- est moindre que Tunité si z <^ i 5