I -^- vZ

donc le reste tend vers zéro et la série représente 1 {i-\-x). Cette série peut donc être employée pour toutes les valeurs de X comprises entre -h i et — 1 .

90. On peut obtenir des séries plus convergeâtes que la précédente et plus applicables au calcul des logarithmes.

Si dans la formule

on change x en — x, on obtient

I(l — jc)rr — X ~ V»

PRKMIÈRR PAUTIE. 9^

et , en retranchant la seconde de la première,

Posant

' 3 d'oii

il vient

Cette série très-convergente donne la différence des logarithmes de deux nombres entiers consécutifs, et fait ccmnaitre, par conséquent, les logarithmes de tous les nombres entiers depuis l'unité.

Connaissant les logarithmes dans la base e , on les obtiendrait dans toute autre base, en les divisant par le logarithme de Ja nouvelle base pris dans la base e.

Nous ferons connaître plus tard des procédés plus commodes pour la construction des Tables de logarithmes.