Soit maintenant

F(x) = (i -^a^)^ on aura

et, par suite,

Pour que la série indéfinie représente ( i -h x)"*, il est d'abord nécessaire qu'elle soit convergente. Or le rapport du

terme de rang p au précédent est x , et tend

vers — X à mesure que p augmente ^ donc la série n'est pas convergente si x est en dehors des limites -f- i et — i . Il 2* édit. 7

<)8 COURS i»'analysk.

suffit donc de reconnaîire si le reste tend vers zéro pour toutes les valeurs de x comprises entre ces limites. Ce resle peut se décomposer dans les deux facteurs

x" et (i -H Ox)*"-".

Le premier tend vers zéro, parce que si n augmente d*une unité, il se trouve multiplié par x qui s'approche de plus en plus de — x dont la valeur absolue est moindre que l'unité *, et quant au second facteur . - * v-„9

si Toii suppose d'abord-x positif, il terid aussi vers zéro, à moins que ne s'approche indéfinimetit de zéro 5 riiaîs dans tôiisles cas ce facteur feste plus petit que Tunité, et, par conôéqueùt, lé reste de la série tend vers zéro. Donc elle représente (é -h x)**" pour toutes les valeurs de x comprises ttilre o et H- I..

Mais sî X est négatif, rien ne prouve que le second facteur ne croîtra pas indéGniment avec n , et cela arrivera même certainement, à moins que ne tende vers zéro^ car l'expression (i -f- 6a:)" tendrait vers zéro si la fraclion. I -h to ne s'approchait pas indéfiniment de l'unité. Il faut alors avoir recours à la seconde forme du reste , qui est

(l H- Ôj:)"'-".

Le facteur — ^ — ^ — tend encore vers zéro;

l'autre facteur devient, en remplaçant x par — Zy Or on a <^ i, puisque z <^i : donc ( —^0

PRKMIÈRK 1>ARTIK. Og

tendra vers zéro, à moins que ne tende aussi vers zéro; et dans ce cas môme cette expression est toujours moindre que l'unité, ainsi que (i — 0z)'"""*. Donc le reste delà série tend vers zéro , et , par conséquent , cielle-ci peut être employée pour toutes les valeurs de x comprises entre -f- i et — I.

92. En prenant successivement F ( j: ) = sin x , F(jc) = cosj:r, on est conduit aux séries suivantes, qui sont exactes , quel que soit x :

Elles supposent le rayon égal à l'unité, c'est-à-diie que x désigne le rapport de Tare au rayon du cercle; et sinx, cosj: désignent les rapports des lignes auxquelles elles se rapportent, à ce même rayon. Dans le cas où il serait désigné par R, on remplacerait dans les seconds

membres x par ^^ R étant le rayon ; et dans les premiers,

sm X ces X sino: et cosx par -^5 ~s — Quelque grand que soit x^

les termes finissent par aller constamment en diminuant: et comme ils sodt alterhativement positifs et négatifs, l'erreur commise en arrêtant la série à ;in terme quelconque est moindre que le suivant.

93. Considérons maintenant des fonctions de a: -f- A, et soit d'abord F (a:) = x"* ; on trouvera , quel que soit m ,

lOO COURS « ANAI.YSK.

Le rapport du teime de rang p au précédent est >

h et tend vers quand p augmente indéfiniment*, la série

ne sera donc convergente que si Ton a A<^ x, abstraction faîte des signes. Quant au reste, on reconnaîtra, comme dans le cks de (i -h xY\ que si h est compris entre -h x et — X, il tend vers zéro ; et la série représente par conséquent (jc-h h)"\