PREMIÈRE PARTIE

Eu continuant ainsi , il est facile de voir que la forme générale des infiniment petits de Tordre n est

it'»(K -\- w),

K étant fini, et co infiniment petit.

Mais il y a souvent lieu de considérer des infiniment petits dont le rapport avec une puissance fractionnaire de ex a une limite finie ^ et Ton est convenu d'appeler

* infiniment petit de l'ordre - celui dont le rapport avec

o? à une limite finie : la formule qui représentera les quantités de cet ordre sera donc

C'est aussi dans le même sens qu'il faut entendre les ordres d'infiniment grands. Deux quantités de ce genre, c'est-à-dire croissant indéfiniment, sont dites du même ordre quand la limite de leur rapport est finie : Tune-esl infiniment petite par rapport à l'autre quand la limite de son rapport à cette autre est zéro ; et l'on dira générale- •ment que l'une d'elles est de l'ordre /* relativement n l'autre, quand son rapport à la puissance 77'*"'" de l'autre aura une limite finie.

Rapports différentiels. Dérivées,

18. Les fonctions continues d'une seule variable jouissent de la propriété importante , que leurs accroissements infiniment petits sont, en général , du même ordre que les accroissements correspondants de la variable dont elles dépendent.

Pour s'en assurer, on observera d'abord que si le rapport de raccroissemenl unique et déterminé de la fonc-

22 C013BS 1) ANALYSE

tîoii , à raecroissement correspondant de la varkbie , ne tend pas vers une limite finie, il tendra vers zéro, ou croîtra sans limite-, que si l'un ou l'autre de ces deux derniers cas n'a lieu que pour certaines valeurs particulières de la variable, le rapport a, en général, une limite finie, comme on voulait le démontrer ; et cpie s'il en est autrement, il faudra que, dans une certaine étendue de la variable , le rapport tende vers zéro pour toute valeur de cette variable, ou croisse sans limite pour toutes. ces . mêmes valeurs: car on ne peut admettre que ces deux cas se succèdent sans intervalle 5 cela n'aUrait aucun $ens. Il reste donc à démontrer qu'il n'est pas possible que le rapport tende constamment vers zéro, oif croisse constamment sans limite entre deux valeurs déterminées de la variable .•Et même on voit qu'il suffît d'examiner le premier cas , et que le second y est renfermé 5 car, si le rapport de deux quantités prises dans un certain ordre croît indéfiniment, le rapport des mêmes quantités, prises en ordre inverse , tendra vers zéro.

Il suffit donc de démontrer que lorsque deux variables jr, y dépendent l'une de l'autre, le rapport de l'acéroîssement infiniment petit à^y à celui de x ne peut avoir pour limite zéro , pour toutes les valeurs de x comprises entre deux valeurs déterminées aelb.

Supposons, en effet, qu'il en soit ainsi, et partageons une portion quelconque â de l'intervalle b — a en parties égales, dont nous désignerons la valeur par a, et qûo nous pourrons supposer aussi petites que nous le voudrons. Tous les rapports obtenus successivement en divisant par a les différences entre les valeurs consécutives dey, correspondantes à des valeurs de x qui diffèrent de a, seront aussi près de zéro que l'on voudra, d'après l'hypothèse. Si maintenant on ajoute , d'une part, les premiers termes de ces rapports, et, d'une autre, les seconds^

PREMIKRR PARTIE . 2 3

le rapport de ces deux sommes sera compi'is eulre Iv plus petit et le plus grand des premiers, et par conséquent peut être démontré moindre que toute grandeur donnée.

Ainsi', la différence invariable des deux valeurs de y correspondantes aux deux valeurs déterminées de x, dont la différence est cî, est telle , que son rapport à d peut être démontré plus petit que toute quantité donnée: il est donc nul, et par conséquent j^ serait constant pour toutes les valeurs de x comprises entre a et i, et, par suite, ne serait pas fonction de x.

Donc, enfin, sijr est fonction de j:, la limite du rapport de l'accroissement de j à celui de x ne peut être constamment nulle entre deux valeurs déterminées de x, 11 ne peut donc non plus être constamment infini , et par conséquent l'un ou l'autre de ces cas ne pourra arriver que pour des valeurs particulières de x\

Cette limite déterminée, dont la valeur change, en général , avec x pour la même fonction , est elle-même une fonction de x, que Ton appelle la. fonction dérivée, ou simplement la dérivée de la première par rapport à x ; ou, encore, son coefficient différentiel ^âv raifpovi k x. Nous lui donnerons aussi le nom de rapport différentiel dey à X.

19. Nous venons de démontrer que si la dérivée d'une quantité par rapport à x est nulle quel que soit x, cette quantité est nécessairement constante, ou, en d'autres termes , indépendante de x, 11 suit de là que deux fonctions de X qui ont leur dérivée identique ne peuvent différer que d'une quantité ayant pour dérivée zéro, et par conséquent indépendante dcx. D'où résulte cette proposition importante :

On connaîtra la Jonction la plus générale ajant pour dériyéc une fonction donnée, si Von trouve une

^4 COURS u' ANALYSE,

fonction particulière qm satisfasse à cette condition, et qu*on lui ajoute une constante arbitraire,

20» Ou a trouvé eammode de représenter des limites.des rapports par des rapports exacts , et on a donné le nom de différentielles des variables à des quantités ayant entre elles des rapports égaux aux limites des rapports des accroissements ou différences de ces variables. Les diflerenlielles ne sont donc pas entièrement déterminées 5 on peut prendre Tune d'elles arbitrairement : leurs rapports seuls sont déterminés.

La différentielle d'une fonction de x n'est donc autre chose que le produit de sa dérivée par rapport à x par la différentielle de x ; et c'est se proposer le même problème, que de chercher la dérivée ou la différentielle d'une fonction d'ime seule variable.

21 . Nous ferons ici une reniarque qui nous sera souvent utile. Soient jr, j-, z, m, v», etc., un nombre quelconque de variables , dépendantes d'une seule^ a, i, c, rf, e, etc., leurs accroissements correspondants, supposés infiniment petits 5 a, 6, y, (î, 6, etc., des quantités dont la première soit arbitraire, et toutes les autres choisies de manière que le rapport de deux consécutives quelconques soit égal à la limite du rapport des accroissements correspondants. Il s'ensuivra nécessairement que le rapport de deux quelconques de ces quantités , non consécutives, sera égal à la limite du rapport des accroissements

fi c

correspondants : ainsi par exemple - sera la limite de j-

En effet, en passant par les intermédiaires entre v et j^. on posera l'identité

Or le second membre a pour limite le produit des limite»

PRKMIÈBE PARTIE. 2$

de ses facteurs, c'est-à-dîre i»- • s> ou -• Le premier

membre devant avoir la même limite , il s'ensuit , comme nous l'avions avancé, que s est la limite de y*

Notations diverses.

22. L'accroissement d'une variable s'exprime au moyen de la caractéristique A que Ton place devant cette variable. La différentielle s'exprime de même par la caractéristique d. Ainsi Ar, Ay^ Az^ etc. , sont les différences des variables x^ y^ Z] et <ir, ^, dz^ etc. , sont leurs différentielles.

La dérivée par rapport à x d'une fonction désignée par

F (x) ou par y pourra donc être exprimée par — ou

— ~— ^. C'est la notation de Leibnitz: et elle n'est autre

Ar AF (x)

chose que lim — ou lim — — > lorsque Ax tend vers

zéro. Dans le système de notations de Lagrange, on la représente par F' (x) ouj^', en accentuant la fonction dont on veut exprimer la dérivée.

Lorsque Axest infiniment petit, c'est-à-dirè tend vers zéro , on a

a étant infiniment petit, puisque •— a pour limite F' (x) ] il en résulte

A/ = F \x) Aj: -h aAA.

Donc Ay ne diffère de F' {x) Ax que d'une quantité infiniment petite par rapport à Ay même. Si donc on prend la quantité arbitraire dx égale à Ax^ les deux quantités Ay et dy ne différeront que d'une quantité infiniment pe-

tite par rapport à elles-mêmes, et pourront être substituées l'une à l'autre quand il ne s'agira que de limites dé rap-; ports ou de sommes. Ainsi dy pourra être pris pour la différence infiniment petite de 7-, correspondante à la différence infiniment petite dlr; et c'est de là qu'est venue la dénomination de différentielle.

L'équation précédente démontre que ùy finit par être constamment de même signe que F' (x) £^X'^ donc ùkj et ÙlX sont de même signe quand F' (x) est positif, et de signes contraires quand F' [x) est négatif^ d^où se déduit cette importante proposition :

Une Jonction vaiie dans le même sens que la variable dont elle dépend ^ lorsque sa dérivée est positivée y \ et en sens contraire quand sa dériyée est négatii^e.

23. La dérivée d*une fonction de x étant elle-même , en général , une fonction , on peut prendre sa dérivée , que l'on appelle la seconde dérivée de la première, et que Ton représente par F''(j:). La dérivée de cette nouvelle fonction est appelée la troisième dérivée de F (x) et se représente par F^^^{x)] et généralement la /*'''"' dérivée sera désignée par F" (jt).

On nomme diff'érentiation ropéralioii qui a pour objel de trouver la différentielle d'une fonction , et dénv^ation celle qui a pour objet d'en trouver la dérivée : néanmoins la première expression s'emploie souvent pour désigner la seconde opération. Ces deux questions n'en font qu'une, comme nous l'avons dit précédemment.

Des fonctions simples, des fonctions de fondions et des fonctions composées.

24. La manière dont une quantité peut dépendre d'une autre est susceptible d'une variété indéfinie. Parmi toutes les formes possibles de fonctions , on en a choisi un cer-