Soit encore

F (a) =r log a:, d'où

F'(^)rr: î:^',..., F« (.r) = ± I . 2 . . . {« — l)^^^;

on trouvera \oaU-^h)=z\ogx-\-\oi^e\ -4-... ±-7 tt- •

La convergence de la série exige encore A <^ a: 5 dans ce cas, on reconnaîtra, comme dans le cas de log(i-l-x), que le reste tend vers zéro, à mesure que n augmente, et que, par conséquent, log (a: -f- A) peut se développer par la formule de Taylor, loogque h est compris entre -4- a: et — x.

On déduirait le développement de log [x -I- li) de celui de log ( I -\- x)y en observant que

log(a; 4- //) — log^ = log ( I -f - j ^

et de même on aurait déduit le développement de (:t:-f-A)'" de celui de (i + a?)'", en observant que

On développerait aussi a'+'*, en remarquant que

a^^rh __ ^T a'{a^ — i),

PRF.MIKRK PARTI F. lOI

et il resterait à développer a^ par la formule donnée cidessus.

95. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables, — Proposons-nous maintenant de développer F(x -h A , J -^^ suivant les puissances de h et fe , F (x, y) étant une fonction donnée. Pour cela nous considérerons d'abord la fonction Y [x-\^ht ^y-^-kt)^ et nous la développerons suivant les puissances de t par la formule de Maclaurin : il suffira ensuite de faire ^= i pour avoir le développement cherché. Or, pour avoir les coefficients des différentes puissances de î, il' faut prendre les dérivées successives de F {j:-+- Aï , y-^ht) par rapport à f, puis y faire t = o. On trouvera par la règle des fonctions composées de fonctions linéaires, en entendant que dans toutes les dérivées partielles de F (ic, y) on remplace x al y par x -\-ht^y -\- ht ,

dt dx dy

dt^ dx' dxdjr dy'

dr* dx" dx^'-^dy dy"

Si l'on fait t = o dans toutes ces dérivées partielles , elles deviennent celles de la fonction même F (a:, y). On aura donc