n\dx" dy

X et y étant remplacés par x -f- 0ht et y -h 9kt dans le coefficient de f/\ Faisant maintenant « = i , on aura le développement cherché :

io:>.

TOURS 1> AKALYSF..

Ci* \

•Je

•fi:

PREMIÈRE PARTIR. 1 o3

pourvu que toutes les dérivées partielles, jusqu'à Tordre n inclusivement, soient continues entre x -f- h et j H~ ^•

On aurait une formule analogue si au lieu de F (a?, j) on avait une fonction d'un nombre quelconque de variables.

Pour que cette série, poussée indéfiniment, représente F (a: -f- /«, j" -h fc) , il faut que l'ensemble des termes qui expriment le reste tende vers zéro; et l'on pourra s'en assurer en prenant la valeur.de qui rendrait ce reste le plus grand possible , et cherchant si celte valeur maximum, tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment. Quand il arrivera'que chaque terme du reste tende vers zéro, quelque valeur qu'ait B entre o et i , il sera prouvé que le reste lui-même diminue indéfiniment; et la fonction F [x -\- h^j -\-1\) sera développable en série suivant les puissances entières et positives de h et A*.

96. Si dans la formule précédente on fai t jr == o, j^ = o , on a le développement de F (li , fc) ; et si l'on change h et h en X et y^ on obtient ^

dx" 1.2 . .«

rf"F r"

•^ fax, 6r

Dans toutes les dérivées partielles de F (x^j) on doit remplacer x etj par o, excepté dans les termes du reste, où ils doivent être remplacés par 6x^ 9j. Si ce reste tend vers zéro quand n augmente, F (x, y) peut se développer en série indéfinie suivant les puissances de x et y. On a ainsi la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de deux variables ; et on Tétendrait semblablemcnt auxjfono tions d'un nombre quelconque de variables. •

Les deux formules (i) et (i) peuvent être écrites comme il suit, a, «1,..., «„ tendant vers zéro avec // et h :

io4

COURS I) AIT Ar,Y$K,

-^ -Je I-

Té

fa fa

fa i ~

ft-i

vS*

PRKMIERE PARTIE. I o5

• Des maxima et minima des fonctions d'une seule

variable.

97. On dit qu'une fonction F (x) prend une valeur maximum pour la valeur Xq de x, 'lorsque x croissant ou décroissant à partir de Xo dans un intervalle déterminé , quelque petit qu'il, soit, la fonction ¥ {x) est toujours moindre que F(xo). La valeur de la fonction est minimum lorsque, dans les mêmes circonstances, F(x) est toujours plus grand que F (xq) .

Il résulte de là que , pour que Xq donne un maximum ou un minimum pour F {x) , il est nécessaire et suffisant que F (xo -h h) — F (xq) soit constamment négatif on constamment positif, quel que soit le signé de h , pourvu que sa valeur soit suffisamment petite. Il n'y a de règles générales, pour s'en assurer, que quand F' (x) est continu dans le voisinage de Xq , et c'est le seul cas que nous examinerons .

On aura alors

Lorsque h tend vers zéro, F' (xo-h9A) tend veVs F' (x^ ; et si cette dernière valeur n'était pas nulle, le second membre changerait de signe avec h\ la différence F (tq 4- A) — F(jro) ne serait donc pas de signe constant, quel que fut le signe de A , et par conséquent F [x) ne serait ni maximum ni minimum, pour X = JTo- Uiie condition commune au maximum et au minimum est donc F' [x^ = o , et c'est seulement parmi les racines réelles de Féquation F' (jc) = o qu'il faut chercher les valeurs de x propres à rendre F (x) maximum ou minimum. La valeur x^ étant ainsi choisie, on aura

F {x, 4- //) - F {x,) = —- F ' {x, -h Oh),

io6 COURS d'analyse.

La limite de F" {xq -h Oh) est F" (xq) lorsque h tend vers zéro, et si F'' (xq) n'est pas nul, il est évident que po*ir toutes les valeurs de h positives ou^négatives, comprises danjs des limites suffisamment petites , le second membre et, par suite, la différence F (xo-hh) — F [xq) conservent toujours le mèpae signe. La valeur F(j:o) est donc maximuip OH mj^i^ium, EUe est qiaxipium Jorsqiie l'on 4 F''(xp)<^o, et mini muni si F'' {x^) ]> o. Mais si par hasaixl on a F''(xo) = Q, on ne peut plus rien conclure, et il faut mettre la différence sous une autre foryne. On pourra écrire dans ce cas

F (.r„ -h /i) - F (jc,) = -J^ F '" (.^0 H- Qk),

et comme A' change de signe avec h , on voit que si F'"(jCo) n'est pas nul, la différence changerait de signe avec h] il n'y aurait donc ni maximum ni minimum.

Mais si F'''(xo) = o, on a

F(xo -+- h) — F(^o) = '-X-7 F'^(.ro + ÔA),

et il est clair que si Ton a F'''(j:o) <C ^1 ^^ différence est constamment négative, et F(j^o) sera maximum 5 tandis que si Ton a F" (a?o) ^ o? elle sera constamment positive , et F[xo) sera minimum.

Les mêmes raisonnements étant continués jusqu'à ce que Ton obtienne une dérivée qui no devienne pas nulle pour 0? = JTo , on arrive à celte conclusion générale , que , pouf^ (fue Xo rende maximum ou minimum une fonction dont les dévissées sont continues ^ il faut que cette valeur de X annule un nombre impair de dérii^ées consécutiues^ à partir de la première^ et lorsque cette condition est remplie, on a un maximum, si la dérii^éc suivante est rendue uégaU\'e par cette valeur de x, et un minimum si clic est positii^e.

PREMIÈRE PARTIF. lO^

La recherche des maxima et miiiima est ainsi ramenée à la détermination des dérivées d Vne fonction d'une senle variable, et des racines réelles d'une équation à une inconnue.

Si cette fonction n'est pas donnée d'une manière explicite 5 on formera ses dérivées par les règles connues , puis on appliquera la théorie qui vient d'être exposée, et qui est indépendante des moyens à employer pour former ces dérivées. Nous allons montrer quelle est, dans ce cas, la marche du calcul.

98. Cas des fonctions implicites. — Considérons une fonctioi^ liée km — i v^^^ables par m — i équations données : soient, pour fixer les idées, les trois équations '

Y{x,x\zy u)^o, F, (.r, j, z,«) = o, F, (a;, /, z, u)== o,

u étant la fonction dont il faut trouver le maximum ou le minimum.

En les différentiant, on trouve

^F ei¥ dy d¥ dz d¥ du

dx ' dy dx dz dx du dx

flfF, rfF. dy (/F. dz ^ dF, du ^ dx dy dx dz dx ' du dx

d¥, d¥^ dy dF-, dz dF, du

\ dx dy dx dz dx du dx

d'Y dz

au moyen de ces équations , on éliminera -j^? — ? et la va-

leur de -7- qu'on en tirera, devra ensuite être égalée à zéro ; ou, plus simplement , on remplacera — par zéro dans ces

dy dz

équations, puis on éliminera -~5 — entre les [équations

io8 COURS d'analyse.

résultantes, qui sont

d¥ , d¥ dy d¥ dz

dx dy dx dz dx

,dYy d¥, dy dF, dz (2) < -H L .ji.| = 0,

^ dx dy dx dz dx

dF2 d¥2 dy dF^ dz

dx dy dx dz dx

Eliminant -y- ^^ -j"» ^^ obtiendra une équation qui, jointe

aux trois autres F = o, Fi=o, Fg^o, déterminera

On différentiera ^e nouveau les équations (i) et Ton

d^u obtiendra la valeur de -y-^^ on y substituera les valeurs

trouvées de j:, /, 2, u, et Ton reconnaîtra au signe de

cette expression, s'il y a maximum ou minimum. Si l'on

d^u avait -;— - == o , on chercherait les dérivées suivantes de u dx^

par rapport à x, et Ton y appliquerait la théorie précédente.

dy dz

'99. Pour éliminer —?— des équations (2) , on peut

se servir de la méthode des multiplicateurs. Pour cela on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés ^ , |tx , et on les ajoutera à la première ^ puis on éga-

d'V dz

Icra à zéro les coefficients de -^9 -7-9 et le terme indépen-

dx dx ^

dam: ce qui conduit aux trois équations

dF dFj^ dFj

dx dx dx

dF r/F. dF,

dy dy dy

dF dF, dF,

-H > — - + ^. — - = o dz dz ' dz

PREMIKRK PARTIE. lOQ

d'où Ton éliminera 1 et fJL\ ce qui conduira , comme on le sait par les théories de Talgèbre, à la même équation que

si Ton avait éliminé autrement -f^, -—. Ce procédé de cal-

cul a souvent des avantages sur Tautrç.

100. Considérons maintenant une fonction de m variables , liées par m — i équations : ce cas renferme le précédent , qui s'en déduit en supposant que la fonction se réduise à l'une des variables. Soient, par exemple, les trois équations

et soit proposé de trouver le maximum de la fonction f[oc^y^ z,u). Dans ce cas aux équations (i), dans lesquelles — ne serait plus zéro , on joindrait la suivante :

df dfdy dfdz dfdu

dx dy dx dz dx du dx '

et de ces quatre équations on «éliminerait ^ > -7-5 — • 11 * * dx dx dx

en résulterait une équation entre x^y^ z^u^ qui, jointe

aux équations données, déterminerait ces quatre quantités .

On chercherait ensuite la dérivée seconde àef{x^y^ z, u)

fl^Y d^z d^u par rapport à x ^ elle renfermerait y-jj -— 9 ■— , qui seront faciles à trouver au moyen des trois équations (1); et l'on reconnaîtrait, au signe de cette seconde dérivée, si la fonction^ (x, y^, -z, u) est minimum ou maximum. On peut remarquer que les équations entre lesquelles

on a à éliminer -—5 -7- , -r- seraient les mêmes si l'on avait

dx dx dx

à chercher le maximum de Tune des fonctions F, Ft, F,,

les deux autres étant égales à zéro , ainsi que/1

I lo couBS u'analyse.

Des maxima et minima des fonctions de plusieurs

variables.

101 . On dit qu'une fo&ction F (x, y) des deux variables indépendantes a:, j^ acquiert une valeur maximum, pour certaines valeurs, Xo^y^^ dex etjj lorsqu'en changeant ces variables en ^o -1- ^^/o H- ^ 9 A et k étant des quantités arbitraires comprises entre o et des limites positives ou négatives aussi petites que l'on voudra , la fonction est constamment moindre que pour les valeurs Xq^ y^. Si , au contraire, elle était constamment plus grande, on dirait qu elle est minimum pour ces mêmes valeurs.

D'après cela, la différence

doit être constamment négative, quels que soient les valeurs et les signes des quantités infiniment petites A et A, si F (x, y) est maximum 5 et elle doit être constamment positive dans le cas du minimum. De sorte que ce sera un caractère commun au maximum et au minimum^ qu'elle soit invariable de signe.

Nous ne considérerons que le cas où la fonction et ses dérivées, jusqu'à l'ordre dont on aura besoin, sont continues. Les cas de discontinuité ne donnent pas lieu à des règles générales , et se discuteront suivant la question . D'après utie formule précédente, nous aurons , en désinant par a , «i des quantités infiniment petites ,

Si — et — sont différents de zéro , le signe du second dx djr

membre, lorsque h et A tendront vers zéro, finira par être

PRRMIKUF PARTIE. I I |

constamment le même que celui de

dx dy

• • Or cette expression change de signe si Ton change h et A de signes, sans changer leur grandeur •, donc Y{x^y) ne serait ni maximum ni minimum, et, par conséquent, pour qu'elle puisse être l'un ou l'autre, il est indispensable que l'expression précédente soit nulle 5 comme h cl ft sont indépendants l'un de l'autre, on devra avoir

dx "* dy

Si ces conditions sont remplies, on aura

et si les trois dérivées du second ordre ne sont pas toutes rendues nulles par les valeurs a:,j', le signe du second membre, et par suite de l'accroissement,* finira par être le même que celui du trinôme

dx^ 1 dxdy dy^ 2

11 faut que cette expression soit constamment négative, quels que soient hei k^ pour que F [x^ j) soit maximum , et constamment positive pour qu'elle soit minimum. Si

on la divise par — ? ce qui n'en change p3s le signe, on

obtient

d'^F fkV d'F ik\ d'F

dx' *'

fPFUy d'F /Â\

112 COURS d'analysk.

et pour que ce trinôme ne change pas de signe, quel que soit jt et ne soit jamais nul , il faut que Ton ait

\dxdx) ^dx"" "dy^^

condition qui entraîne que -j-^ et -^ soient de même

signe.

Si elle est satisfaite par les valeurs de x etj tirées des

deux équations

dY dY

d^Y d^Y la fonction F (or, y) sera maximum si -; — et -; — sont né-

^ '^^ dx^ dy""

gatifs, et minimum s'ils sont positifs.

Si les trois dérivées du second ordre étaient nulles, il faudrait que toutes celles du troisième le fussent , et que le signe d'un polynôme du quatrième degré par rapport

X* à j fût constant : ce qui conduirait à des conditions plus

compliquées. On continuerait semblablement si les dérivées du quatrième ordre étaient encore toutes nulles.

102. Ces raisonnements s'étendent facilement à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes \ seulement les conditions se* compliquent de plus en plus. Dans le cas de trois variables par exemple, on aura les trois équations

dY dY dY

et il faudra que le polynôme

û?x- dy^ dz^

dxdy dxdz dydz

PBRMIÈRK PARTIE. Il3

soit constamment de même signe , quels que soient A, fc , h

Pour exprimer cette condition, on divisera d'abord par A '^

If l

et si Ton pose - = /^, â ^^ ^' ^^ *^^^ "^ polynôme de la

forme

Agr» -h B/>» -f- 2C/?^ + 2Dçr -H 2E/? 4- F.

En le considérant relativement à la variable q seulement, il faudra , pour qu'il ne change pas de signe , que l'on ait , quel que soit ^,

(C* — AB)/?» -4- 2 (CD — AE) p 4- D« ~ AF < o.

On posera sans difficulté la condition pour que ce polynôme soit de même signe quel que soit/^, et Ton y ajoutera , pour qu'il soit négatif,

C» — AB < o.

De même que le cas de deux indéterminées/;, q se ramène à une seule , on ramènerait celui de trois à deux , et ainsi de suite.

103. Cas d! une fonction implicite. — Proposons-nous de trouver le maximum d'une fonctiony*(a:5 j", z) en supposant les variables x^y^ z liées par une équation

en vertu de laquelle z est une fonction implicite des deux variables indépendantes x^^y*

La théorie précédente exige que les dérivées partielles dey(x, y^ z) par rapport à x et ^ soient nulles séparément^ ce qui donne

dx dz dx ' dy dz dy '

équations dans lesquelles on mettra pour — 5 -j- leurs va- 2« édiu 8

I i4 COURS d'analtsk.

leurs tirées des deux suivantes:

^F dFdz (IF dFdz

dx dz dx dy dz dy

On aura ainsi deux équations entre x,y, z ^ qui, jointes à Y(x^y^ z) = o, détermineront x^y^ z. On formera ensuite les dérivées partielles du second ordre à.ç^ f{x^j^ z) : elles dépendront de celles de z , qui seront déterminées par les règles de la différentiation des fonctions implicites à deux variables.

En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans la fonction , et le nombre dés équations qui les lient, il suffira de reconnaître les variables indépendantes , et d'égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables. Les équations qui en résulteront, jointes aux équations données, seront toujours en même nombre que les variables , et les détermineront. On formera ensuite facilement les dérivées partielles successives de la fonction par rapport aux variables indépendantes , et on les soumettra aux épreuves établies dans la théorie précédente.

104. On peut donner une autre forme au calcul du maximum ou du minimum d^une fonction de r?i-h n variables , liées par n équations , ce qui est le cas le plus général.

11 y a alors m variables indépendantes, et l'on devra égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à chacune d'elles ; ce qui revient à dire qu'on égalera à zéro la différentielle totale de cette fonction , quelles que soient les valeurs des différentielles indépendantes. Et , pour cela , on tirera des équations données les valeurs des différentielles des variables dépendantes en fonction de celles des variables indépendantes; on les substituera dans la différentielle totale de la fonction proposée, puis