PREMIÈRE PARTIE. Il

on égalera à zéro les coefficients de toutes les différentielles qui y seront restées.

Soity^la fonction des m-\- n variables x, y^, r , m, etc., *qui sont liées par les n équations

L=:0, M = O, N=rO,...,

on aura les n + i équations suivantes *

df ^ df ^ df ^

-^ dx ^ ^ dy -^-f- dz -h...=:o,

dx dy dz

dL ^ dh , dh ^

-— rfjc -h -^ rt/ -h -7- rfz H- . . . = G ,

dx dy dz

dx dy -^ dz '

-— ^jr -+--— rfj 4- "T" "^ ■+••••= o > dx dy dz

et l'oli doit tirer des n dernières les valeurs des ditréren*» tielles des n variables dépendantes , les reporter dans la première , et égaler à zéro les coefficients des m différentielles arbitraires qui y resteront. En d'autres termes , il faut éliminer n différentielles de ces n-h 1 équations , et égaler à zéro les coefficients de celles qui subsisteront dans l'équation finale.

Pour faire cette élimination , on multipliera les n dernières équations par des facteurs indéterminés A, fx, v, etc., on les ajoutera à la première , et l'on égalera à zéro les coefficients des n différentielles des variables dépendantes, ce qui déterminera X, |ut, v, etc., puis on égalera à zéro les coefficients des m autres variables 5 ce qui revient évidemment à annuler les coefficients des w-h/i différentielles, après l'addition des équations, et à éliminer X, fx, v, etc., de ces m-h n équations 5 ce qui conduira à m équations entre x, /, z , etc., qui , jointes aux n équations données ,

1 16 COURS i/analyse.

déterminent les valeurs de ces variables qui peuvent donner les maxima et minima de la fonction proposée. On les distinguera ensuite au moyen des secondes dérivées partielles de la fonction, comme nous l'avons fait con-* naître ci-dessus.

On peut remarquer que le calcul serait le même si Ton s'était proposé de trouver le maximum ou le minimum absolu de y-+- XL -h julM-j- ..., en ayant égard ensuite aux équations L = o , M = o.

Application à quelques exemples.